Stato sui limiti inferiori del circuito per circuiti di profondità limitati da poliloghi

La complessità del circuito di profondità limitata è una delle principali aree di ricerca all'interno della teoria della complessità del circuito. Questo argomento ha origini in risultati come "la funzione di parità non è in " e "la funzione mod non è calcolata da ", dove è la classe di lingue decidibili per non uniforme, profondità costante, dimensione polinomiale, fan-in illimitati AND, OR, NOT e moduli gates, dove . Tuttavia, ottenere risultati concreti sui limiti inferiori sui circuiti di profondità pollogaritmici sembra essere fuori portata usando metodi classici come la limitazione degli input e l'approssimazione dei polinomi su campi finiti.$AC^{0}$$p$$AC^{0}[q]$$AC^0[q]$$q$$\gcd(p,q)=1$

Conosco un documento STOC'96 che porta alla teoria della complessità geometrica e mostra che un calcolo parallelo efficiente che utilizza operazioni senza bit-saggio non può calcolare il problema del flusso di costo minimo.

Ciò significa che in alcune impostazioni limitate, possiamo dimostrare limiti inferiori $NC$ per alcuni problemi $P$ completi.

In primo luogo, ci sono altri metodi o tecniche che possono essere approcci plausibili per dimostrare i limiti inferiori del circuito di profondità pollogaritmica?

Secondo, quanto è utile la seguente affermazione per la comunità teorica?

La dimensione di un circuito $NC$ che calcola una funzione booleana $f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ è almeno $l$ , dove $l$ è una quantità matematica a seconda della durezza del funzione target $f$ . Il valore di $l$ può essere, ad esempio, una quantità combinatoria come discrepanza, una quantità algebrica lineare come il rango di un certo tipo di matrice su un campo o una quantità completamente nuova che non è stata precedentemente utilizzata nella teoria della complessità.

Per quanto riguarda le tecniche per dimostrare i limiti inferiori della profondità del circuito polilogo, tutti gli approcci attuali funzionano con impostazioni limitate . Ad esempio, nel lavoro che porta a GCT che menzioni, il limite inferiore si applica a un modello PRAM limitato senza operazioni di bit.

Sotto un'altra restrizione, che è la restrizione monotona per le funzioni booleane monotone, c'è un approccio di Fourier-analitico (o enumerativo-combinatorio) per dimostrare limiti inferiori di profondità del circuito monotono, nel mio lavoro congiunto con Aaron Potechin ( ECCC e STOC ). Ciò migliora un precedente risultato di Ran Raz e Pierre McKenzie, che estende la struttura del gioco di comunicazione di Mauricio Karchmer e Avi Wigderson in merito alla profondità del circuito.

Un'altra linea di ricerca per estendere il gioco Karchmer-Wigderson è stata proposta come gioco di comunicazione riferito da Scott Aaronson e Avi Wigderson, la cui estensione a un protocollo pro-concorrente è suggerita come un approccio per separare NC da P di Gillat Kol e Ran Raz ( ECCC e ITCS ).

Oltre a studiare la restrizione sintattica della monotonicità, esiste un approccio per studiare una restrizione semantica relativa ai giochi di ciottoli (chiamati parsimoniosi programmi di ramificazione) di Stephen Cook, Pierre McKenzie, Dustin Wehr, Mark Braverman e Rahul Santhanam. C'è un forte limite inferiore sotto la restrizione parsimoniosa di Dustin Wehr, corrispondente al limite superiore più noto per i problemi di P-complete. Questi risultati riguardano la complessità dello spazio deterministico, che riduce i limiti del tempo parallelo o della profondità del circuito mediante risultati di simulazione noti (ad es. Poiché ).$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

Per quanto riguarda la domanda relativa alle dimensioni e alla profondità dei circuiti, può essere correlato il seguente approccio. Richard Lipton e Ryan Williams mostrano che, dato un limite inferiore sufficientemente profondo in profondità (cioè ), un limite inferiore di dimensioni deboli (ovvero ) può NC separato da P. Questo risultato deriva da un argomento di scambio di dimensioni-profondità basato su simulazioni che rispettano i blocchi. Un risultato precedente sulla profondità di trading per dimensioni è dovuto a Allender e Koucký basati sull'idea di auto-riducibilità, ma ha studiato classi di complessità più piccole come NC e NL. n 1 + Ω ( 1 )$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

Si noti che tra gli approcci sopra menzionati, alcuni considerano sia la dimensione che la profondità dei circuiti, mentre altri approcci considerano solo la profondità del circuito. In particolare, l'approccio semi-algebro-geometrico di Mulmuley , l' approccio basato sul protocollo concorrente-prover studiato da Kol – Raz e l'approccio del trade-off di Allender – Koucký e Lipton – Williams riguardo alla dimensione riguardano tutti sia la dimensione che la profondità di circuiti. I risultati in Chan – Potechin , Raz – McKenzie , Cook – McKenzie – Wehr – Braverman – Santhanam e Wehr offrono limiti inferiori di profondità del circuito in impostazioni ristrette indipendentemente dalle dimensioni. Inoltre, il gioco di comunicazione di cuiAaronson – Wigderson riguarda solo la profondità del circuito.

È ancora coerente con la nostra conoscenza che alcuni problemi P-complete non possono essere calcolati da circuiti di piccola profondità (cioè ), indipendentemente dalle dimensioni. Se le dimensioni non contano per i piccoli circuiti di profondità (del fan-in limitato), allora forse ha senso concentrarsi maggiormente sulla profondità del circuito, piuttosto che concentrarsi sulla dimensione dei circuiti di piccola profondità.$\log^{O(1)}n$

Seguendo il suggerimento di Kaveh, sto inserendo il mio commento come una risposta (estesa).

Per quanto riguarda$Q1$ , è necessaria una parola di cautela: anche la profondità logaritmica se lungi dall'essere compresa, non si parla di poliarcaritmico. Quindi, nel mondo non monotono, il vero problema è molto meno ambizioso:

Problema di profondità del registro battente: prova un limite inferiore super-lineare (!) Per i circuiti . $NC^1$

Il problema rimane aperto (per oltre 30 anni) anche per i circuiti lineari . Questi sono circuiti fanin- sulla base e calcolano le trasformazioni lineari over . Il conteggio semplice mostra che quasi tutte le matrici richiedono porte , a qualsiasi profondità. 2 { ⊕ , 1 } f ( x ) = A x G F ( 2 ) A Ω ( n 2 / log n $NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$

Per quanto riguarda$Q2$ : Sì, abbiamo abbiamo alcune misure algebriche / combinatorici, limiti inferiori su cui avrebbe battuto circuiti log-profondità. Sfortunatamente, finora, non possiamo dimostrare limiti abbastanza ampi su queste misure. Supponiamo, ad lineari -circuits, tale misura è la rigidità della matrice . Questo è il numero più piccolo di voci di che è necessario modificare per ridurre il rango a . È facile dimostrare che vale per ogni matrice booleana N C 1 R A ( r ) A A r R A ( r ) ≤ ( n - r ) 2 n × n A$NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$$R_A(r)\leq (n-r)^2$$n\times n$$A$e Valiant (1977) ha dimostrato che questo limite è stretto per quasi tutte le matrici. Per battere circuiti log-profondità, è sufficiente esibire una sequenza di booleani matrici tale che$n\times n$$A$

$R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$ per costanti . $\epsilon,\delta>0$

Le migliori che conosciamo finora sono le matrici conR A ( r ) ≥ ( n 2 / r ) log ( n / r $A$$R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$ . Per le matrici di Sylvester (ovvero le matrici dei prodotti interni), il limite inferiore di è facile da mostrare . $\Omega(n^2/r)$

Abbiamo misure combinatorie anche per i circuiti generali (non lineari) Per un grafico b × n n n n G , sia t ( G ) il numero più piccolo t tale che G possa essere scritto come intersezione di t bipartito grafici, ognuno dei quali è l'unione di al massimo t grafici completi bipartiti. Per battere i circuiti di profondità di registro generali, sarebbe sufficiente trovare una sequenza di grafici con$NC^1$$n\times n$$G$$t(G)$$t$$G$$t$$t$

per una costante ϵ > $t(G_n)\geq n^{\epsilon}$$\epsilon >0$

(vedi, ad esempio, qui su come ciò accade). Ancora una volta, quasi tutti i grafici hanno . Tuttavia, il migliore rimane un limite inferiore t ( G ) ≥ log 3 n per le matrici di Sylvester, dovuto a Lokam . $t(G)\geq n^{1/2}$$t(G)\geq \log^3 n$

Infine, lasciatemi menzionare che abbiamo anche una "semplice" misura (quantità) combinatoria un limite inferiore (lineare) debole su cui porterebbe anche limiti inferiori esponenziali (!) Per circuiti non monotoni. Per un grafico bipartito , sia il numero più piccolo di operazioni di unione ( ) e intersezione ( ) richieste per produrre quando si parte da stelle; una stella è un insieme di spigoli che uniscono un vertice con tutti i vertici sull'altro lato. Quasi tutti i grafici hanno . D'altra parte, un limite inferiore diG c ( G ) 2 ∪ ∩ G c ( G ) = Ω ( n 2 / log n $n\times n$$G$$c(G)$$2$$\cup$$\cap$$G$$c(G)=\Omega(n^2/\log n)$

ϵ > $c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$ per una costante$\epsilon>0$

implicherebbe un limite inferiore sulla complessità del circuito non monotono di una funzione booleana esplicita di variabili. Se è grafico con , anche un limite inferiore è sufficiente (di nuovo, vedi, ad esempio, qui su come ciò accade). I limiti inferiori possono essere visualizzati per grafici relativamente semplici. Il problema, tuttavia, è farlo con " " sostituito da " ". Misure più combinatorie complessità del circuito a limite inferiore (incluso l'f G N G n × m m = o ( n ) c ( G n ) ≥ ( 2 + ϵ ) n c ( G ) ≥ ( 2 - ϵ ) n - ϵ + ϵ A C $\Omega(2^{N/2})$$f_G$$N$$G$$n\times m$$m=o(n)$$c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$$c(G)\geq (2-\epsilon)n$$-\epsilon$$+\epsilon$$ACC$-circuits) può essere trovato nel libro .

PS Quindi, siamo di un fattore costante di mostrare ? Ovviamente no. Ho citato quest'ultima misura solo per dimostrare che si dovrebbe trattare l '"amplificazione" (o "ingrandimento") dei limiti inferiori con una sana porzione di scetticismo: anche se i limiti di cui abbiamo bisogno sembrano "innocentemente", sono molto più piccoli ( lineare) di quanto quasi tutti i grafici richiedano (quadratico), la difficoltà intrinseca di dimostrare un limite inferiore (debole) può essere ancora maggiore. Naturalmente, avendo trovato una misura combinatoria, possiamo dire qualcosa su quali proprietà delle funzioni le rendono difficili dal punto di vista computazionale. Questo può essere utile per dimostrare un indirettoP ≠ N P c ( G $2+\epsilon$$P\neq NP$$c(G)$limite inferiore: alcune classi di complessità contengono una funzione che richiede grandi circuiti o formule. Ma l'obiettivo finale è trovare una funzione esplicita e difficile, la cui definizione non ha un "odore algoritmico", non ha aspetti di complessità nascosti.