Generazione di interessanti problemi di ottimizzazione combinatoria

Sto insegnando un corso sulla meta-euristica e ho bisogno di generare esempi interessanti di classici problemi combinatori per il termine progetto. Concentriamoci su TSP. Stiamo affrontando grafici di dimensione e superiore. Ho ovviamente cercato di generare un grafico con una matrice di costo con valori presi da una casuale e ho scoperto che (come previsto) l'istogramma per il costo del percorso (disegnato campionando molti percorsi casuali) ha una distribuzione normale molto stretta ( è ma è circa ). Ciò significa, secondo me, che il problema è molto semplice, poiché la maggior parte dei percorsi casuali sarà inferiore alla media e il percorso di costo minimo è molto vicino a un percorso casuale.U ( 0 , 1 ) μ $200$$U(0,1)$$\mu$$~100$$\sigma$$4$

Quindi ho provato il seguente approccio: Dopo aver generato la matrice , faccio una lunga passeggiata casuale attorno al grafico e casualmente (Bernoulli con ) raddoppia o dimezza il valore del bordo. Questo tende ad abbassare tutti i valori, raggiungendo infine lo zero, ma se prendo il giusto numero di passaggi, posso ottenere una distribuzione con intorno a e intorno a .p = 0,5 μ 2 σ $U(0,1)$$p=0.5$$\mu$$2$$\sigma$$1$

La mia domanda è, in primo luogo, è anche una buona definizione per un problema interessante ? Idealmente, vorrei un'istanza altamente multimodale (per le funzioni di vicinato più comuni) e che abbia pochissimi percorsi vicino al valore minimo, in modo che la maggior parte delle soluzioni casuali sia molto lontana dall'ottimale. La seconda domanda è, data questa descrizione, come posso generare istanze con tali caratteristiche?

Un approccio generale alla generazione di istanze più difficili è il seguente:

• Inizia con un'istanza casuale del problema.
• Incorpora una "backdoor nascosta": scegli in modo casuale una buona soluzione (probabilmente molto migliore di qualsiasi soluzione già esistente) e modifica l'istanza del problema per incorporare forzatamente questa soluzione nell'istanza del problema.

Ad esempio, per TSP, potresti fare qualcosa di simile al seguente. Genera un'istanza casuale del problema selezionando una matrice di costo casuale . Quindi, regola l'istanza del problema per nascondere una soluzione molto migliore al suo interno: seleziona in modo casuale un tour che visita ogni vertice esattamente una volta e riduci i pesi dei bordi in quel tour (ad esempio, generalo in modo casuale da dove ; ridurre il peso esistente; o modificare il bordo esistente con una certa probabilità fissa). Questa procedura di regolazione garantisce che la soluzione ottimale sarà, con alta probabilità, quel tour speciale selezionato. Se sei fortunato e selezioni un incorporamento ragionevole, non sarà nemmeno facile riconoscere dove hai nascosto la soluzione speciale.U ( 0 , c ) c < $U(0,1)$$U(0,c)$$c<1$

Questo approccio è derivato da idee generali nella crittografia, in cui vogliamo creare problemi a una via della botola: dove il problema è difficile da risolvere senza la conoscenza della botola segreta, ma con la conoscenza della botola segreta, il problema diventa molto semplice. Ci sono stati molti tentativi di incorporare le botole segrete in una varietà di problemi difficili (pur conservando la durezza del problema anche dopo che la botola è stata aggiunta), con diversi gradi di successo. Ma questo approccio generale sembra fattibile, per i tuoi scopi.

Le risultanti problematiche potrebbero essere difficili , ma saranno interessanti , da qualsiasi prospettiva pratica? Non lo so. Mi batte. Mi sembrano abbastanza artificiali, ma cosa ne so?

Se il tuo obiettivo principale è selezionare istanze problematiche che siano praticamente rilevanti e rappresentative delle applicazioni del mondo reale di TSP, il mio suggerimento sarebbe di adottare un approccio totalmente diverso. Invece, inizia esaminando le applicazioni del mondo reale di TSP, quindi cercando istanze rappresentative di tali problemi e convertendole nella corrispondente istanza del problema TSP, in modo da lavorare con le istanze del problema derivate da un problema del mondo reale.

un approccio che spesso offre un elevato controllo sulla natura delle soluzioni è la conversione da un problema completo NP a un altro. ora definisci "interessante" la tua domanda in modo statistico, ma un altro approccio pulito è quello di usare i classici problemi del campo. il mio preferito è factoring / SAT. è banale trovare numeri "uniformi" con molti fattori o numeri primi con solo due "fattori" (uno e il primo). creare l'istanza SAT per risolvere il factoring e le soluzioni sono i fattori (in realtà permutazioni di fattori, ma anche che non è difficile contare in anticipo).

secondo questo approccio, esiste una definizione naturale di "interessanti" istanze difficili che non possono essere risolte in P time. e questo approccio è garantito per produrre casi difficili per il factoring di numeri non uniformi, altrimenti risolverebbe una questione prevalentemente aperta nella teoria della complessità, ovvero la durezza del factoring .

quindi, eventualmente convertire al tuo problema, in questo caso TSP. per compilare questa risposta sarebbe bello avere una conversione diretta da SAT a TSP, pensare che siano là fuori, ma non ho familiarità con loro. tuttavia, ecco alcuni riferimenti sul factoring-to-SAT in questa domanda: ridurre il problema della fattorizzazione a numeri interi a un problema completo NP

se non ti piace il factoring, potrebbe essere preferibile creare prima le istanze in SAT per una serie di motivi. potresti iniziare con istanze SAT casuali sintonizzate sul centro nel punto di transizione facile-difficile-facile, eccetera. oppure potresti lavorare dalle istanze difficili DIMACS , generate dalla community. o creare altri "programmi" logici in SAT.