minimizzare le dimensioni dell'espressione regolare per insiemi finiti

È noto che ridurre al minimo la dimensione di un'espressione regolare è completo per PSPACE anche se abbiamo un DFA come specifica del linguaggio .

Quali sono i risultati se la lingua è finita?

Si può considerare questo problema in due modelli:

1. L'input è tutte le stringhe nella lingua e misuriamo la dimensione dell'input in base alla somma della lunghezza di tutte le stringhe.
2. L'input è un DFA e misuriamo la dimensione dell'input in base al numero di stati del DFA.

La stella di Kleene non è utile nel caso finito, quindi solo ,e (concatenazione) sono usati nell'espressione. Naturalmente, la lunghezza di un'espressione regolare sembra arbitraria. Invece, si può dare peso a ciascuna operazione (includere l'aggiunta di parentesi) e chiedere di ridurre al minimo il peso dell'espressione regolare.$()$$|$$\cdot$

Modifica: come notato adrianN, è legato ai codici grammaticali. È NP completo per produrre la grammatica libera di contesto di lunghezza minima per descrivere un set finito. Non è chiaro perché la grammatica libera dal contesto di dimensione minima possa implicare molto sull'espressione regolare di dimensione minima. Forse una regola di riscrittura intelligente può mettere in relazione questi due, e dimostrare che nel primo modello, il problema è in NP.

Il seguente argomento deriva essenzialmente da ( 1 ): Le versioni decisionali dei due problemi sono contenute nel secondo livello della gerarchia polinomiale (più precisamente: nella classe di complessità ), come segue. Indovina un'espressione regolare di dimensione al massimo k e controlla se è equivalente al dato automa finito deterministico (rispettivamente: alla lingua data come un elenco di parole).$\Sigma^P_2$$k$

Credo che non siano noti altri risultati riguardo ai tuoi problemi. Per un problema di ottimizzazione dall'aspetto simile, in cui l'obiettivo è trovare un automa finito non deterministico equivalente minimo anziché un'espressione regolare, sono noti i seguenti risultati:

• Per input descritto come DFA, il problema NFA equivalente minimo è -hard, vedere ( 1 ). Qui, D P sta per "differenza tempo polinomiale"; questa è la classe di complessità "Sigma" al secondo livello della gerarchia booleana .${\bf DP}$${\bf DP}$
• Per l'input descritto come un elenco di parole, il problema NFA equivalente minimo è -hard, vedere ( 2 ).${\bf NP}$
• Per input descritti come tabella di verità, il problema NFA equivalente minimo è N P -completo, vedere ( 2 ).$L \subseteq \{0,1\}^m$${\bf NP}$

Attenzione: diversamente dall'impostazione di infiniti linguaggi, non vedo una riduzione diretta dal caso di minimizzazione di NFA ai problemi della tua domanda.

Riferimenti:

(1) Hermann Gruber e Markus Holzer. Complessità computazionale della minimizzazione di NFA per lingue finite e unarie . In: 1a Conferenza internazionale sulla teoria e le applicazioni delle lingue e degli automi (LATA 2007), pagg. 261-272, 2007.

(2) Hermann Gruber e Markus Holzer. Inapprossimabilità di stato non deterministico e complessità di transizione assumendo P <> NP . In: 11ª Conferenza internazionale sugli sviluppi della teoria delle lingue (DLT 2007), LNCS 4588, pagg. 205-216, 2007.

$L=\{w\}$$w$

apparentemente privo di una risposta nota esatta o migliore di questa, ecco un riferimento recente / recente alla ricerca in particolare sul tema della riduzione al minimo delle RE (che è un angolo apparentemente non comune):

Minimizing NFA's and Regular Expressions (2005) di Gregor Gramlich, Georg Schnitger

Mostriamo risultati di inapprossimabilità riguardanti la minimizzazione di automi finiti non deterministici (nfa) nonché espressioni regolari relative a nfa, espressioni regolari o automi finiti deterministici (dfa). Mostriamo che è impossibile minimizzare efficacemente una data nfa o un'espressione regolare con n stati, transizioni, resp. simboli all'interno del fattore o (n), a meno che P = PSPACE. I nostri risultati di inapprossimabilità per un dato dfa con n stati si basano su ipotesi crittografiche e mostriamo che qualsiasi algoritmo efficiente avrà un fattore di approssimazione di almeno poli (log n). La nostra configurazione ci consente anche di analizzare il problema dfa coerente minimo.