Come può un problema essere in NP, essere NP-difficile e non NP-completo?

Per molto tempo ho pensato che un problema fosse NP-completo se entrambi (1) NP-hard e (2) sono in NP.

Tuttavia, nel famoso articolo "Il metodo dell'ellissoide e le sue conseguenze nell'ottimizzazione combinatoria" , gli autori sostengono che il problema del numero cromatico frazionario appartiene a NP ed è NP-difficile, ma non è noto per essere NP-completo. Nella terza pagina dell'articolo, gli autori scrivono:

... notiamo che il problema dell'imballaggio dei vertici di un grafico è in un certo senso equivalente al problema del numero cromatico frazionario e commentiamo il fenomeno che quest'ultimo problema è un esempio di un problema in che è -hard ma (per ora) non è noto per essere completo.N P N $\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Com'è possibile? Mi manca un dettaglio sottile nella definizione di NP-complete?

Sembra che il problema sia il tipo di riduzioni utilizzate per ognuna di esse e ne stanno usando diverse: probabilmente significano " -hard wrt Cook riduzioni" e " riduzioni Karp" .$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

A volte le persone usano la versione di riduzione Cook di -hardness perché è applicabile a problemi computazionali più generali (non solo problemi di decisione). Sebbene la definizione originale sia di -hardness sia di -completità abbia utilizzato le riduzioni di Cook (riduzioni di Turing in tempo polinomiale), è diventato insolito usare le riduzioni di Cook per -completeness (a meno che è dichiarato esplicitamente). Non ricordo alcun documento recente che abbia usato completo per significare riduzioni di Cook . (Come nota a il primo problema da dimostrare a$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$-hard era TAUT non SAT e la completezza per SAT è implicita in quella prova.)

Ora, se si guarda al capitolo 7 della carta, in fondo alla pagina 195, si vedrà che significano riduzioni WRT Turing -hardness.$\mathsf{NP}$

Quindi, ciò che significano qui è che il problema è in , è difficile per le wrt Cook, ma non è noto essere difficile per riduzioni di Karp (molti polinomi -una riduzione).$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$