In che modo l'approccio geometrico Mulmuley-Sohoni alla produzione di limiti inferiori evita di produrre prove naturali (nel senso di Razborov-Rudich)?

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L'esatta formulazione del titolo è dovuta ad Anand Kulkarni (che ha proposto la creazione di questo sito). Questa domanda è stata posta come una domanda di esempio, ma sono follemente curioso. Conosco pochissimo la geometria algebrica, e in effetti hanno anche una comprensione superficiale e scapestrata degli ostacoli in gioco nella domanda P / poli contro NP (non relativizzante, non algebrazing, probabilmente non sarà una prova naturale) .

Cosa fa sembrare la geometria algebrica in grado di aggirare questo tipo di ostacoli? È solo un'intuizione di esperti sul campo o abbiamo davvero una buona ragione per credere che l'approccio sia fondamentalmente più potente degli approcci precedenti? Quali risultati più deboli sono riusciti a ottenere questo approccio?

— Ross Snider
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[Risponderò alla domanda come indicato nel titolo, lasciando la litania di altre domande su GCT per altri thread.] Provare le congetture che sorgono in GCT sembra che utilizzerà in modo cruciale il fatto che le funzioni in esame (determinante e permanente, e altri polinomi correlati per P / poli e NP) sono caratterizzati dalle loro simmetrie. Questa necessità non è un risultato formale, ma un'intuizione espressa da diversi esperti. (Fondamentalmente che in assenza di caratterizzazione per simmetrie, comprendere la geometria algebrica e la teoria della rappresentazione che ne risulta è molto più difficile.)

Ciò dovrebbe aggirare Razborov-Rudich perché pochissime funzioni sono caratterizzate dalle loro simmetrie (aggirando la condizione di ampiezza nella definizione di prove naturali). Ancora una volta, non ho visto una prova di ciò, ma è un'intuizione che ho sentito espressa da diversi esperti.

Ora, oltre i numeri complessi, non mi è chiaro che esiste un analogo di Razborov-Rudich. Sebbene la maggior parte della GCT si concentri attualmente sui numeri complessi, ci sono analoghi nella caratteristica finita (promessa nel prossimo documento GCT VIII). In una caratteristica finita, si potrebbe effettivamente essere in grado di provare un'affermazione della forma "Pochissime funzioni sono caratterizzate dalle loro simmetrie".

[In risposta al commento di Ross Snider, ecco una spiegazione della caratterizzazione per simmetrie.]

Innanzitutto, una spiegazione per esempio. Per l'esempio, definire una funzione ausiliaria . Se è una matrice di permutazione, allora e se è diagonale, quindi (prodotto delle voci diagonali). Supponiamo ora che sia un grado omogeneo $q$ $A$ $q(A)=1$ $A$ $q(A)=det(A)$ $p(X)$ $n$ polinomiale in variabili (che noi consideriamo come gli enti di una matrice $n^2$ $n \times n$ $X$ ). Se ha le seguenti simmetrie: $p$

(trasporre) $p(X) = p(X^t)$
per tutte le coppie di matrici tali che e sono ciascuna matrici di permutazione o matrici diagonali e $p(AXB) = p(X)$ $(A,B)$ $A$ $B$ $q(A)q(B) = 1$

quindi è un multiplo costante di $p(X)$ per tutte le matrici . Quindi diciamo che il permanente è caratterizzato dalle sue simmetrie. $perm(X)$ $X$

Più in generale, se abbiamo un (omogenea) polinomio in variabili, allora (l'insieme di tutte invertibile matrici) agisce sul da $f(x_1, ..., x_m)$ $m$ $GL_m$ $m \times m$ $f$ per (dove stiamo prendendo le variabili come base per il spazio vettoriale dimensionale su cui agisce naturalmente). Lo stabilizzatore di in è il sottogruppo $(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$ $A \in GL_m$ $x_1,...,x_m$ $m$ $GL_m$ $f$ $GL_m$ . Diciamo che è caratterizzato dalle sue simmetrie se vale quanto segue: per ogni polinomio omogeneo in variabili dello stesso grado di , se per tutto , allora è a multiplo costante di . $\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$ $f$ $f'$ $m$ $f$ $Af' = f'$ $A \in \text{Stab}(f)$ $f'$ $f$

— Joshua Grochow
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Sembra un'ottima risposta, ma temo di non capire bene le simmetrie delle funzioni (il che significa che mi mancano i dettagli cruciali della risposta). Potresti decomprimere qual è la simmetria di una funzione, perché sarebbe importante che pochissime funzioni la caratterizzassero (ovvero - perché ciò consentirebbe di aggirare la condizione di grandezza di Razborov)? Anche per essere chiari, la tua risposta è che c'è un mix. Ci sono ragioni per cui l'approccio sembra promettente, ma alla fine l'evidenza per queste ragioni è in gran parte dovuta all'intuizione degli esperti.

— Ross Snider,

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Ho aggiunto una spiegazione della caratterizzazione per simmetrie per te. Anche se poche funzioni sono caratterizzate dalle loro simmetrie, stiamo ancora facendo affidamento sull'intuizione degli esperti che la caratterizzazione mediante simmetrie sarà cruciale nel dimostrare le congetture che sorgono in GCT. In tal caso, le tecniche di dimostrazione utilizzate in tali congetture funzionerebbero solo per una piccola frazione di funzioni, aggirando così la condizione di grandezza. (O non era quello che stavi chiedendo?)

— Joshua Grochow,

Ooooh. Epifania registrata qui. Grazie mille. Come posso non accettare questa risposta?

— Ross Snider,

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$P/poly$ $NP\not\subseteq P/poly$ $SAT\notin P/poly$ $SAT$ $NP$ $NP$

Per dirla in altro modo, Razborov – Rudich di solito non presenta un grosso ostacolo nelle prime fasi della pianificazione di una linea di attacco sui limiti inferiori del circuito, purché lasci un po 'di spazio nel tuo piano per eventualmente impiegare "proprietà speciali" delle funzioni booleane candidate. È solo quando si rimboccano le maniche e si tenta di compilare i dettagli dell'argomento che la barriera di naturalizzazione inizierà a sollevare la testa sul serio. Dato che GCT è ancora in una fase iniziale di sviluppo, non dovremmo aspettarci di doverci preoccupare molto della naturalizzazione (anche se ovviamente vale la pena verificare che il programma GCT non sia condannato per banali ragioni).

Puoi anche dare un'occhiata all'esposizione di GCT di Ken Regan , che include alcune osservazioni sulla barriera di naturalizzazione.

— Timothy Chow
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