Immagine più ampia dietro la scelta delle matrici nell'algoritmo Strassen

17

Nell'algoritmo Strassen, per calcolare il prodotto di due matrici e , le matrici e sono divise in matrici a blocchi e l'algoritmo procede calcolando ricorsivamente prodotti matrice a matrice di blocchi rispetto a una matrice a blocchi ingenua- prodotti matrice, ovvero se vogliamo , dove $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $2 \times 2$ $7$ $8$ $\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B}$ quindi abbiamo

UN = [\begin{matrix} {UN}_{1, 1} & {UN}_{1, 2} \\ {UN}_{2, 1} & {UN}_{2, 2} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} B_{1, 1} & B_{1, 2} \\ B_{2, 1} & B_{2, 2} \end{matrix}], C = [\begin{matrix} C_{1, 1} & C_{1, 2} \\ C_{2, 1} & C_{2, 2} \end{matrix}]

$\mathbf{A} =\begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1,1} & \mathbf{A}_{1,2} \\ \mathbf{A}_{2,1} & \mathbf{A}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{1,1} & \mathbf{B}_{1,2} \\ \mathbf{B}_{2,1} & \mathbf{B}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{1,1} & \mathbf{C}_{1,2} \\ \mathbf{C}_{2,1} & \mathbf{C}_{2,2} \end{bmatrix}$

che richiede

moltiplicazioni. Invece in Strassen, calcoliamo

C_{1, 1} = {UN}_{1, 1} B_{1, 1} + {UN}_{1, 2} B_{2, 1} C_{1, 2} = {UN}_{1, 1} B_{1, 2} + {UN}_{1, 2} B_{2, 2} C_{2, 1} = {UN}_{2, 1} B_{1, 1} + {UN}_{2, 2} B_{2, 1} C_{2, 2} = {UN}_{2, 1} B_{1, 2} + {UN}_{2, 2} B_{2, 2}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,2}$

8

$8$

e ottenere

usando

come

M_{1} : = ({UN}_{1, 1} + {UN}_{2, 2}) (B_{1, 1} + B_{2, 2}) M_{2} : = ({UN}_{2, 1} + {UN}_{2, 2}) B_{1, 1} M_{3} : = {UN}_{1, 1} (B_{1, 2} - B_{2, 2}) M_{4} : = {UN}_{2, 2} (B_{2, 1} - B_{1, 1}) M_{5} : = ({UN}_{1, 1} + {UN}_{1, 2}) B_{2, 2} M_{6} : = ({UN}_{2, 1} - {UN}_{1, 1}) (B_{1, 1} + B_{1, 2}) M_{7} : = ({UN}_{1, 2} - {UN}_{2, 2}) (B_{2, 1} + B_{2, 2})

$\mathbf{M}_{1} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{2} := (\mathbf{A}_{2,1} + \mathbf{A}_{2,2}) \mathbf{B}_{1,1}\\ \mathbf{M}_{3} := \mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} - \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{4} := \mathbf{A}_{2,2} (\mathbf{B}_{2,1} - \mathbf{B}_{1,1})\\ \mathbf{M}_{5} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2}) \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{M}_{6} := (\mathbf{A}_{2,1} - \mathbf{A}_{1,1}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{1,2})\\ \mathbf{M}_{7} := (\mathbf{A}_{1,2} - \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{2,1} + \mathbf{B}_{2,2})$

C_{i, j}

$\mathbf{C}_{i,j}$

M_{k}

$\mathbf{M}_{k}$

Tuttavia, la scelta delle matrici

mi sembra arbitraria. Esiste un quadro più ampio del perché scegliamo questi prodotti specifici delle sottomatrici di

e

? Inoltre, mi aspetto che

coinvolga

e

in modo simmetrico, il che non sembra essere il caso qui. Ad esempio, abbiamo

C_{1, 1} = M_{1} + M_{4} - M_{5} + M_{7} C_{1, 2} = M_{3} + M_{5} C_{2, 1} = M_{2} + M_{4} C_{2, 2} = M_{1} - M_{2} + M_{3} + M_{6}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{M}_{1} + \mathbf{M}_{4} - \mathbf{M}_{5} + \mathbf{M}_{7}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{5}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{4}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{M}_{1} - \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{6}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A

$\mathbf{A}$

B

$\mathbf{B}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A_{i, j}

$\mathbf{A}_{i,j}$

B_{i, j}

$\mathbf{B}_{i,j}$

. Mi aspetto che anche la sua controparte dica che

verrà calcolato. Tuttavia, non lo è poiché può essere ottenuto da altri

.

M_{2} := (A_{2, 1} + A_{2, 2}) B_{1, 1}

$\mathbf{M}_2: = (\mathbf{A}_{2,1}+\mathbf{A}_{2,2})\mathbf{B}_{1,1}$

A_{1, 1} (B_{1, 2} + B_{2, 2})

$\mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{B}_{2,2})$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

Gradirei se qualcuno potesse far luce su questo.

— Comunità
fonte

15

$2 \times 2$ $2 \times 2$

$2 \times 2$

Schönhage una volta mi disse che Strassen una volta gli aveva detto di aver trovato il suo algoritmo in questo modo, cercando di dimostrare un limite inferiore.

— Markus Bläser
fonte

11

$A_0,A_1,A_2,A_3$ $B_0,B_1,B_2,B_3$ $2\times 2$ $A_iB_j \in \{0,A_0,A_1,A_2,A_3,B_0,B_1,B_2,B_3\}$ $A_0 = B_0$ $A$ $B$ $A_0=B_0,A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ $M$

Non so se Strassen abbia escogitato questo modo di vederlo. Considerando le altre identità alla base degli algoritmi di moltiplicazione a matrice rapida, non è chiaro se ci sia qualcosa di profondo in corso, al di sotto di una formula che risolve. Ci siamo già passati prima - Lagrange ha usato l'identità dei quattro quadrati (che era stata conosciuta in precedenza) per dimostrare il teorema dei quattro quadrati. All'inizio deve essere stata solo una curiosa identità algebrica, ma ora sappiamo che afferma la proprietà di moltiplicazione della norma del quaternione. Dato lo stato attuale delle conoscenze, è difficile stabilire se l'interpretazione di cui sopra sia altrettanto produttiva.

— Yuval Filmus
fonte

3

2 \times 2

$2\times 2$