Piccolo grafico con spazio tra il numero cromatico e il numero cromatico vettoriale?

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Sto cercando un piccolo grafico $G$ cui numero cromatico vettoriale è più piccolo del numero cromatico, $\chi_v(G)<\chi(G)$ .

( $G$ ha vettoriale numero cromatico $q$ se c'è un'assegnazione $x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$ , dove intuitivamente i vettori associati vertici vicino sono distanti Il requisito è. $\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$ . Ad esempio, per $q=3$ , sono sufficienti i vertici di un triangolo.)

Il numero cromatico vettoriale di un grafico non è maggiore del numero cromatico: $\chi_v(G)\leq \chi(G)$ . Sono noti esempi di grafici con $\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$ . (L'articolo originale di Karger, Motwani, Sudan [JACM, 45: 246-265] ( manoscritto ) suggerisce grafici generalizzati di Kneser, un documento più recente utilizza una costruzione basata su vettori di unità casuali.)

Penso di avere un grafico di esempio $K$ con $\chi_v(K)=4$ e $\chi(K)=8$ (basato sul calcolo del computer). Questo grafico ha 20 vertici e 90 bordi.

C'è un esempio più piccolo? Una strada allettante sarebbe quella di fornire una colorazione vettoriale concreta del grafico di Chvatal o Grötzsch, se esiste una tale bestia.

( $\chi_v$ non è necessario che sia un numero intero, ma sarebbe carino. Aggiornamento: come sottolineato di seguito, il caso non integrale è davvero facile. Grazie.)

Aggiornamento: Grötzsch e Chvátal

Non ho resistito a pensare alla colorazione vettoriale 3 dei grafici di Chvátal e Grötzsch.

Il grafico di Grötsch può essere tricolore vettoriale come segue: Posiziona il nodo grado cinque sul polo nord. I nodi di 5 ° -4 ° sono posizionati uniformemente sulla stessa latitudine, a circa 77 ° da Nord: immagina un pentragramma dipinto sull'emisfero nord della Terra. I restanti 5 nodi (di grado 3) finiscono nell'emisfero meridionale, a circa 135 gradi da nord. Hanno la stessa longitudine degli altri 5. (Caricherò un disegno quando ne avrò uno, ma è più difficile disegnare linee geodetiche in TikZ di quanto pensassi.)

Secondo un risolutore di SDP, Chvátal ammette anche una colorazione vettoriale a 3, ma l'output è solo un gruppo di vettori in 5 dimensioni che ho difficoltà a interpretare.

(Un terzo tentativo fallito: ispirato alla costruzione di Yury, prendi il ciclo 5 e aggiungi un vertice apicale adiacente a tutti gli altri. Questo grafico ha il numero cromatico 4. Ma secondo il mio risolutore non è un vettore a 3 colori.)

— Thore Husfeldt
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Potresti fornire un link o un defn per il numero cromatico vettoriale?

— Suresh Venkat,

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χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5})

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5)$

C_{5}

$C_5$

C_{5}

$C_5$

G

$G$

χ_{v} (G) \neq χ (G)

$\chi_v(G) \neq \chi(G)$

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$\chi_v(G)$ $G=C_5$

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5}) . [Lovász]

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$

$\chi_v(G)$ $G_1$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $G_2=K_5$ $G$ $G_1$ $G_2$

\begin{aligned} χ (G) & = max (χ (G_{1}), χ (G_{2})) = χ (G_{1}) = 6. \\ χ_{v} (G) & = max (χ_{v} (G_{1}), χ_{v} (G_{2})) = max (2 \cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{aligned}

$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$

— Yury
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Qui è un incorporamento del grafico di Grötzsch sulla sfera unitaria: inserisci qui la descrizione dell'immagine questo corrisponde a una colorazione vettoriale in modo ovvio; ad esempio, il vertice sul polo nord è colorato con il vettore (0,0,1).

Il grafico di Grötsch ha 3 tipi di nodi. Un singolo grado 5 nodi (a nord). Cinque nodi di grado 4 (nell'emisfero nord, equidistanti da N, puoi individuarne 3). Cinque nodi di grado 3 (nell'emisfero australe, equidistante da N, ne puoi distinguere 3).

N è collegata ai suoi 5 vicini nell'emisfero meridionale con bordi verdi. (Si noti che il bordo verde sembra essere incidente sui vertici di grado 4 nell'emisfero settentrionale, ma questo è un artefatto dell'incorporamento.)

Visto dall'alto, puoi distinguere il pentagramma descritto dai nodi grado 4, simile all'incorporazione di di nel piano: $C_5$ inserisci qui la descrizione dell'immagine

Infine, una vista dall'alto del polo sud: inserisci qui la descrizione dell'immagine

Se i miei calcoli devono essere creduti, tutti i vertici vicini sono a più di 120 gradi l'uno dall'altro, quindi questo costituisce un valido vettore 3-colorazione. Il grafico di Grötzsch è 4-cromatico. 11 vertici, 20 spigoli. Sono particolarmente contento di questo esempio perché la colorazione vettoriale è in 3 dimensioni, per te puoi visualizzarla. (E disegnare iperpiani casuali al fine di spiegare l'algoritmo di colorazione del grafico KMS.)

— Thore Husfeldt
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