Qual è la differenza tra frecce e oggetti esponenziali in una categoria chiusa cartesiana?

In una categoria chiusa cartesiana ( CCC ), esistono i cosiddetti oggetti esponenziali , scritte . Quando un CCC è considerato come un modello di semplicità digitato λ -calcolo , un oggetto esponenziale come B A caratterizza lo spazio funzione dal tipo A al tipo B . Un oggetto esponenziale viene introdotto da una freccia chiamata c u r r y : ( A × B → C ) → ( A → C $B^A$$\lambda$$B^A$$A$$B$ Ed eliminata da una freccia chiamato un p p l y : C B × B → C (che purtroppo ha chiamato e v una L nella maggior parte dei testi sulla teoria delle categorie). Le mie domande qui sono: c'è qualche differenza tra l'oggetto esponenziale C B e la freccia B → C ?$curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$$apply : C^B \times B \rightarrow C$$eval$$C^B$$B \rightarrow C$

Uno è interno e l'altro è esterno .

Una categoria costituita da oggetti e morfismi. Quando scriviamo f : A → B si intende che f è un morfismo dall'oggetto A all'oggetto B . Possiamo raccogliere tutti i morfismi da A a B in un insieme di morfismi H o m C ( A , B ) , chiamato "insieme familiare". Questo set non è un oggetto di C , ma piuttosto un oggetto della categoria di insiemi.$\mathcal{C}$$f : A \to B$$f$$A$$B$$A$$B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$$\mathcal{C}$

Al contrario, un esponenziale è un oggetto in C . È così che " C pensa ai suoi gruppi". Pertanto, B A deve essere dotato di qualsiasi struttura abbiano gli oggetti di $B^A$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$B^A$$\mathcal{C}$

Ad esempio, consideriamo la categoria di spazi topologici. Quindi è una mappa continua da X a Y e H o m T o p ( X , Y ) è l'insieme di tutte queste mappe continue. Ma Y X , se esiste, è uno spazio topologico! Si può dimostrare che i punti di Y X sono (in corrispondenza biunivoca con) le funzioni continue da X a Y . In realtà, questo vale in generale: i morfismi 1 → B $f : X \to Y$$X$$Y$$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$$Y^X$$Y^X$$X$$Y$$1 \to B^A$(che sono "i punti globali di ") sono in corrispondenza biiettiva con i morfismi A → B , perché H o m ( 1 , B A ) ≅ H o m ( 1 × A , B ) ≅ H o m ( A , B ) $B^A$$A \to B$

$$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$$

A volte si ottiene sciatta sulla scrittura di al contrario di A → B . In effetti, spesso questi due sono sinonimi, con la consapevolezza che f : A → B potrebbe significare "oh, a proposito, qui intendevo l'altra notazione, quindi questo significa che f è un morfismo da A a B. " Ad esempio, quando hai scritto il curry sul morfismo del curry : ( A × B → C ) → ( A → C B ) dovresti davvero aver scritto curry$B^A$$A \to B$$f : A \to B$$f$$A$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ Quindi non possiamo davvero incolpare nessuno per esserci confusi qui. L'interno → è usato nel senso interno e l'esterno nell'esterno. $$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$$ $\to$

$\lambda$$t$$B$$t : B$$B$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ $\lambda$ tutto $$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$$ $B^A$$A \to B$