Complessità SMT a una alternanza

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Sto cercando la complessità della soddisfacibilità di una formula o di una formula dove è la formula del modulo: $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ $\phi$ dove sono la costante in , e il dominio di variabili è anche .

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$

c

$c$

N

$\mathbb{N}$

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$

N

$\mathbb{N}$

In effetti sono o . Ciò semplifica la complessità? $y_i$ $0$ $1$

Tutte le risposte con riferimenti sarebbero state accettate volentieri.

Grazie

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— wece
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Se phi era booleano, allora sei nel secondo livello della gerarchia polinomiale perché posso risolvere il problema con una macchina di Turing non deterministica usando un solutore SAT come oracolo. Lo stesso ragionamento non funzionerebbe qui?

— Mikolas,

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Come indicato nella domanda, sembra addirittura indecidibile, poiché include il decimo problema di Hilberts en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

— Magnus Find

@MagnusFind Grazie, hai ragione. Ma in realtà non ho la moltiplicazione (modificata, scusate).

— dal

Π_{2}

$\Pi_2$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

0

$0$

1

$1$

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La questione della verità nell'aritmetica di Presburger con alternanza di quantificatori limitati è stata risolta con una certa precisione da Reddy e Loveland:

CR Reddy & DW Loveland: aritmetica di presburger con alternanza di quantificatori limitati .

Il documento può essere trovato qui (scusate il brutto link). Il loro risultato principale è dichiarato come segue:

$\mathrm{PA}(m)$ $m$ $n$
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ $d$ $e$

$m=2$

— cody
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6

$m=1$ $n$

— Sylvain
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5

Non conosco riferimenti per il frammento quantificato, ma il tuo problema non è lo stesso di decidere frammenti ben studiati dell'aritmetica di Presburger perché hai coefficienti unitari.

$x + c < y$ $x$ $y$ $c$

Due teorie facili la cui combinazione è difficile. Pratt, 1977.

$x$ $y$

Decidere le formule logiche di separazione per SAT ed eliminazione incrementale del ciclo negativo. Chao Wang, Franjo Ivančić, Malay Ganai, Aarti Gupta, 2005.

$0$ $1$ $-1$

Una procedura decisionale efficiente per i vincoli UTVPI. Shuvendu K. Lahiri e Madanlal Musuvathi, 2005.

$n$ $\mathcal{O}(3^n)$

Il dominio astratto dell'ottaedro. Robert Clarisó e Jordi Cortadella, 2004.

Per il caso di alternanza del quantificatore limitato, non conosco risultati migliori di quelli di Reddy e Loveland, ma forse un esperto può indicarti la giusta direzione.

— Vijay D
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