Principali problemi irrisolti nell'informatica teorica?

Wikipedia elenca solo due problemi in "problemi irrisolti in informatica" :

• P = NP?
• L'esistenza di funzioni a senso unico

Quali sono gli altri problemi principali che dovrebbero essere aggiunti a questo elenco?

Regole:

1. Un solo problema per risposta
2. Fornire una breve descrizione e tutti i collegamenti pertinenti

La moltiplicazione di matrici per essere effettuata in operazioni ?n O ( n 2$n$$n$$O(n^2)$

L'esponente del limite superiore più noto ha persino un simbolo speciale, . Attualmente è circa 2.376, secondo l' algoritmo Coppersmith-Winograd . Una bella panoramica dello stato dell'arte è Sara Robinson, Verso un algoritmo ottimale per la moltiplicazione delle matrici , SIAM News, 38 (9), 2005.$\omega$$\omega$

Aggiornamento: Andrew Stothers (nella sua tesi del 2010 ) ha mostrato che , che è stato migliorato da Virginia Vassilevska Williams (in una prestampa di luglio 2014 ) a . Questi limiti sono stati entrambi ottenuti da un'attenta analisi della tecnica base di Coppersmith-Winograd.ω < $\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

Ulteriore aggiornamento (30 gennaio 2014): François Le Gall ha dimostrato che in un articolo pubblicato su ISSAC 2014 ( prestampa arXiv ).$\omega < 2.3728639$

Isomorfismo grafico in P?

La complessità di Graph Isomorphism (GI) è stata una domanda aperta per diversi decenni. Stephen Cook lo menzionò nel suo articolo del 1971 sulla completezza NP della SAT .

Determinare se due grafici sono isomorfi di solito può essere fatto rapidamente, ad esempio con software come nautye saucy. D'altra parte, Miyazaki ha costruito classi di istanze per le quali è nautyevidentemente necessario un tempo esponenziale.

Read e Corneil hanno riesaminato i numerosi tentativi di affrontare la complessità delle IG fino a quel momento: The Graph Isomorphism Disease , Journal of Graph Theory 1 , 339–363, 1977.

Non è noto che GI sia in co-NP, ma esiste un semplice protocollo randomizzato per non-isomorfismo grafico (RNL). Quindi si ritiene quindi che GI (= co-RNL) sia "vicino a" NP co-NP.${}\cap{}$

D'altra parte, se il GI è completo di NP, allora la Gerarchia polinomiale collassa. Quindi è improbabile che l'IG sia completo. (Boppana, Håstad, Zachos, Co-NP ha prove interattive brevi?, IPL 25 , 127–132, 1987)

Shiva Kintali ha una bella discussione sulla complessità di IG nel suo blog.

Laszlo Babai ha dimostrato che l' isomorfismo dei grafi si trova in un periodo non esponenziale .

Complessità del factoring

Il factoring è in ?$\mathsf{P}$

• Conseguenze del factoring in P?
• I problemi PRIMES, FACTORING sono noti per essere P-hard?
• Quali sono le conseguenze del factoring completo di NP?
• P con oracolo di fattorizzazione a numeri interi
• La prova per la fattorizzazione dei numeri interi è in P (su MO )

P = BPP?

Esiste una regola fondamentale per l'algoritmo simplex che produce il tempo di esecuzione polinomiale nel caso peggiore? Più in generale, esiste un algoritmo fortemente polinomiale per la programmazione lineare?

L' ipotesi del tempo esponenziale (ETH) afferma che la risoluzione di SAT richiede tempo esponenziale, 2 ^{Ω (n)} . ETH implica molte cose, ad esempio che SAT non è in P, quindi ETH implica P ≠ NP. Vedi Impagliazzo, Paturi, Zane, quali problemi hanno una complessità fortemente esponenziale? , JCSS 63, 512–530, 2001.

L'ETH è ampiamente creduto, ma probabilmente sarà difficile da dimostrare, poiché implica molte altre separazioni delle classi di complessità.

Immerman e Vardi mostrano che la logica a virgola fissa cattura PTIME sulla classe di strutture ordinate . Uno dei maggiori problemi aperti nella teoria della complessità descrittiva è se la dipendenza dall'ordine può essere rimossa:

Esiste una logica che acquisisce PTIME?

In parole povere, una logica che cattura PTIME è un linguaggio di programmazione per problemi con i grafici che funziona direttamente sulla struttura del grafico e non ha accesso alla codifica dei vertici e degli spigoli, in modo tale che:

1. qualsiasi programma sintatticamente corretto modella un problema di grafico calcolabile in tempo polinomiale e
2. qualsiasi problema grafico calcolabile in tempo polinomiale può essere modellato da un programma sintatticamente corretto.

Se non esiste alcuna logica che acquisisce PTIME, allora poiché NP viene acquisita dalla logica esistenziale del secondo ordine. Una logica che cattura PTIME fornirebbe un possibile attacco a P vs NP.$P \neq NP$

Vedi il blog di Lipton per una discussione informale e M. Grohe: The Quest for a Logic Capturing PTIME (LICS 2008) per un sondaggio più tecnico.

La congettura dei giochi unici è vera?
E: dato che ci sono algoritmi di approssimazione temporale sub-esponenziale per Unique Games , dove finisce il problema in termini di complessità?

Permanente contro determinante

La domanda permanente contro determinante è interessante per due fatti. Innanzitutto, il permanente di una matrice conta il numero di corrispondenze perfette in un grafico bipartito. Pertanto il permanente di tale matrice è # P-Complete. Allo stesso tempo, la definizione di permanente è molto vicina a quella del determinante, in ultima analisi diversa solo per un semplice cambio di segno. È noto che i calcoli determinanti sono in P. Studiare la differenza tra il permanente e il determinante e quanti calcoli determinanti sono necessari per calcolare il discorso permanente su P contro #P.

Possiamo calcolare la FFT in un tempo molto inferiore a ?$O(n \log n)$

Allo stesso modo (molto) generale, ci sono molte domande su come migliorare i tempi di esecuzione di molti problemi o algoritmi classici: ad esempio, è possibile risolvere tutti i percorsi più brevi (APSP) in ora?$O(n^{3-\epsilon})$

Modifica: APSP viene eseguito nel tempo "dove le aggiunte e i confronti dei reali sono costi unitari (ma tutte le altre operazioni hanno un tipico logarithmic cost) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

La congettura di ottimalità dinamica per alberi splay.

O più in generale: esiste un albero di ricerca binario dinamico online O (1) compatibile?

Un algoritmo deterministico temporale lineare per il minimo problema di spanning tree .

NP contro co-NP

La domanda NP contro co-NP è interessante perché NP ≠ co-NP implica P ≠ NP (poiché P è chiuso sotto complemento). Si riferisce anche alla "dualità": separazione tra trovare / verificare esempi e trovare / verificare controesempi. In effetti, dimostrare che una domanda è sia in NP sia in co-NP è la nostra prima buona prova che un problema che sembra essere al di fuori di P probabilmente non è NP-Complete.

Ci sono problemi che non possono essere risolti in modo efficiente dai computer paralleli?

I problemi che sono P-completi non sono noti per essere parallelizzabili. I problemi P-complete includono Horn-SAT e Programmazione lineare. Ma dimostrare che questo è il caso richiederebbe di separare alcune nozioni di problemi parallelizzabili (come NC o LOGCFL) da P.

I progetti di processori per computer stanno aumentando il numero di unità di elaborazione, nella speranza che ciò produca prestazioni migliori. Se algoritmi fondamentali come la Programmazione lineare non sono intrinsecamente parallelizzabili, allora ci sono conseguenze significative.

Tutte le tautologie proposizionali hanno prove Frege di dimensioni polinomiali?

Probabilmente il principale problema aperto della complessità delle prove : dimostrare limiti di dimensioni super-polinomiali inferiori alle prove proposizionali (chiamate anche prove di Frege).

Informalmente, un sistema di prova di Frege è solo un sistema di prova proposizionale standard per provare tautologie proposizionali (si impara in un corso logico di base), con assiomi e regole di deduzione, dove le linee di prova sono scritte come formule. La dimensione di una prova Frege è il numero di simboli necessari per scrivere la prova.

Il problema chiede quindi se esiste una famiglia di formule tautologiche proposizionali per le quali non esiste un polinomio tale che la dimensione minima della prova di Frege di sia al massimo , per tutti (dove indica la dimensione della formula ).$(F_n)_{n=1}^\infty$$p$$F_n$$p(|F_n|)$$n=1,2,\ldots$$|F_n|$$F_n$

Definizione formale di un sistema di prova di Frege

Definizione (regola di Frege) Una regola di Frege è una sequenza di formule proposizionali , per , scritta come . Nel caso , la regola di Frege è chiamata schema di assioma . Si dice che una formula sia derivata dalla regola da se sono tutte istanze di sostituzione di , per alcune assegnazioni alle variabili (ovvero, ci sono formule $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$$k \le 0$$\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$$k = 0$$F_0$$F_1,\ldots,F_k$$F_0,\ldots,F_k$$A_1,\ldots,A_k$$\overline x$$B_1,\ldots,B_n$ tale che per tutti . La regola Frege è detto suono se ogni volta un'assegnazione soddisfa le formule nella parte superiore , quindi soddisfa anche la formula nel lato inferiore .$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$$i=0,\ldots,k$A 1 , … , A k A 0$A_1,\ldots,A_k$$A_0$

Definizione (prova di Frege) Dato un insieme di regole di Frege, una prova di Frege è una sequenza di formule tale che ogni linea di prova è o un assioma o è stata derivata da una delle regole di Frege date da linee di prova precedenti. Se la sequenza termina con la formula , allora la prova è detto essere una prova . La dimensione di una prova di Frege è la dimensione totale di tutte le formule nella prova.$A$A$A$

Un sistema di prova è detto implicationally completo se per ogni insieme di formule , se implica semanticamente , allora v'è una prova di usando (eventualmente) da assiomi . Si dice che un sistema di prova sia valido se ammette prove di sole tautologie (quando non si usano gli assiomi ausiliari, come nella sopra).$T$$T$$F$$F$$T$$T$

Definizione (sistema a prova Frege) Dato un linguaggio proposizionale e un insieme finito di regole Frege sonori, diciamo che è un sistema a prova di Frege se è implicationally completa.$P$$P$P$P$

Si noti che una prova di Frege è sempre valida poiché si presume che le regole di Frege siano valide. Non abbiamo bisogno di lavorare con uno specifico sistema di prova di Frege, poiché un risultato di base nella complessità della prova afferma che ogni due sistemi di prova di Frege, anche su lingue diverse, sono polinomialmente equivalenti [Reckhow, tesi di dottorato, Università di Toronto, 1976].

Stabilire limiti inferiori sulle prove di Frege potrebbe essere visto come un passo verso la dimostrazione di , poiché se questo è vero allora nessun sistema di prova proposizionale (incluso Frege) può avere prove di dimensioni polinomiali per tutte le tautologie.$NP \neq coNP$

Possiamo calcolare la distanza di modifica tra due stringhe di lunghezza nel tempo sub-quadratico, cioè nel tempo per alcuni ?O ( n 2 - ϵ ) ϵ > $n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$$O(n^2)$

BQP = P?

Inoltre: NP contenuto in BQP?

So che questo ha violato le regole avendo due domande nella risposta, ma se prese con la domanda P vs NP, non sono necessariamente domande indipendenti.

1. Congettura di isomorfismo. (Tutti i problemi NP-completi sono lo "stesso" problema?)
2. La crittografia può essere basata su un problema NP completo?

e, un po 'più lontano dal mainstream:


3. Qual è la dimensione di NP all'interno di EXP?

(Informalmente, se hai tutti i problemi di EXP su un tavolo e ne raccogli uno uniformemente a caso, qual è la probabilità che il problema che hai scelto sia anche in NP? Questa domanda è stata formalizzata dal concetto di misura limitata dalle risorse È noto che P ha misura zero all'interno di EXP, vale a dire che il problema rilevato dalla tabella non è quasi sicuramente in P.)

Qual è l'approssimabilità di Metric TSP ? L'algoritmo di Christofides del 1975 è un algoritmo di approssimazione in tempo polinomiale (3/2). NP-difficile è fare meglio?

• L'approssimazione di TSP metrico entro un fattore inferiore a 220/219 è NP-difficile (Papadimitriou e Vempala, 2006 [PS] ). Per quanto ne so, questo è il limite inferiore più noto.

• Ci sono alcune prove che suggeriscono che il limite effettivo potrebbe essere 4/3 (Carr e Vempala, 2004 [versione gratuita] [buona versione] ).

• $13/9$

Fornisce una funzione esplicita con complessità esponenziale del circuito.

Nel 1949 Shannon dimostrò che se scegli una funzione booleana a caso, la complessità del circuito esponenziale con probabilità quasi una.

$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

Separare NEXP da BPP. Le persone tendono a credere a BPP = P, ma nessuno può separare NEXP da BPP.

So che l'OP ha richiesto un solo problema per post, ma le conferenze RTA (Rewriting Techniques and the Applications) 1 e TLCA (Typed Lambda Calculi e le loro applicazioni) mantengono entrambi elenchi di problemi aperti nei rispettivi campi 2 . Questi elenchi sono piuttosto utili, in quanto includono anche indicazioni per il lavoro precedente svolto nel tentativo di risolvere questi problemi.

Derivazione del problema del test di identità polinomiale

$P$$P$

Questo problema può essere risolto in un tempo polinomiale randomizzato ma non è noto che sia risolvibile in un tempo polinomiale deterministico.

$\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

$c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Esiste un teorema di PCP quantistico?

Ci sono molti problemi aperti nei calcoli lambda (tipizzati e non tipizzati). Vedi l' elenco TLCA di problemi aperti per i dettagli; c'è anche una bella versione PDF senza i frame.

Mi piace particolarmente il problema n. 5:

$F_ω$

Il problema del logaritmo discreto è in P?

$G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$

$g^{a b}$$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$

Chiaramente DLP è difficile se CDH è difficile e CDH è difficile se DDH è difficile, ma non si conoscono riduzioni contrarie, ad eccezione di alcuni gruppi. Il presupposto che DDH sia difficile è la chiave per la sicurezza di alcuni sistemi crittografici, come ElGamal e Cramer-Shoup .

I giochi di parità sono giochi con grafici a durata infinita per due giocatori, il cui naturale problema di decisione è in NP e co-NP e il cui naturale problema di ricerca in PPAD e PLS.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

I giochi di parità possono essere risolti in tempi polinomiali?

(Più in generale, una grande e aperta domanda di vecchia data nella programmazione matematica è se i problemi di complementarietà lineare a matrice P possono essere risolti in tempi polinomiali?)

L'area della complessità parametrizzata ha il suo carico di problemi aperti.

Considera i problemi di decisione

• $(G,k)$$k$$G$
• $(F,k)$$k$$F$
• $(G,k)$$k$$G$
• eccetera...

$f(k)n^c$$f$$c$$k$$n^{O(k)}$

Questo framework modella i casi in cui stiamo cercando una piccola struttura combinatoria e possiamo permetterci un tempo di esecuzione esponenziale rispetto alla dimensione della soluzione / testimone .

Un problema con un tale algoritmo (ad es. Copertura dei vertici) è chiamato Fixed Parameter Tractable (FPT).

La complessità parametrizzata è una teoria matura e ha solide basi teoriche e appello per applicazioni pratiche. I problemi di decisione interessanti per tale teoria formano una gerarchia di classi molto ben strutturata con problemi naturali completi:

$FPT=W[1]$$ETH$

$W[1]=FPT$$k$