Conta rapidamente il numero di spanning tree

Sia $t(G)$ il numero di spanning tree in un grafico $G$ con $n$ vertici. Esiste un algoritmo che calcola $t(G)$ in operazioni aritmetiche . Questo algoritmo è di calcolare , dove è il Laplaciano di e è la matrice costituita esclusivamente da 's. Per ulteriori informazioni su questo algoritmo, consultare Biggs - Teoria dei grafi algebrici o questa domanda di Math SE . $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

Mi chiedo se esiste un modo per calcolare più velocemente. (Sì, esistono algoritmi più veloci di per il calcolo determinante, ma sono interessato a un nuovo approccio.) $t(G)$ $O(n^3)$

È anche interessato a considerare famiglie speciali di grafici (planare, forse?).

Ad esempio, per i grafici circolanti, può essere calcolato in operazioni aritmetiche tramite l'identità , dove sono autovalori diversi da zero della matrice laplaciana di , che possono essere calcolati rapidamente per i grafici circolanti. (Rappresentano la prima fila come un polinomio e poi calcolare su radici -esimo dell'unità - questo passaggio utilizza la trasformazione discreta di Fourier e può essere realizzata in operazioni aritmetiche.) $t(G)$ $O(n \lg n)$ $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ $\lambda_i$ $G$ $n$ $O(n \lg n)$

Grazie mille!

— Finsky
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Sergey, ho provato a modificare la tua domanda per migliorare la chiarezza. Verifica di aver compreso correttamente la tua domanda e di non aver riscontrato errori.

— Tyson Williams,

Ecco un esempio più generale delle famiglie grafico in cui trovare complessità può essere fatto più velocemente: i grafici Cayley per gruppi abeliani con generatori impostati , in modo tale che . Sappiamo che gli autovalori di tale matrice sono , dove sono diversi caratteri del gruppo. Tutti i personaggi sono facili da trovare (per maggiori informazioni consultare questo documento ) il calcolo di questi caratteri è FFT dimensionale (vedi capitolo Cormen et al. Su FFT), cioè può essere fatto in

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— Finsky,

Per ulteriori informazioni sui grafici di Cayley, consultare questo libro .

— Finsky,

Fare algebra lineare con il Laplaciano piuttosto che una matrice generale è spesso più facile. Mi chiedo se questo possa essere rilevante.

— Gil Kalai,

Potresti, per favore, essere più specifico, se possibile, fornire alcuni esempi, anche se non è direttamente correlato all'argomento in discussione. Grazie.

— Finsky,

È noto che, per di larghezza dell'albero limitata, il polinomio Tutte può essere valutato in qualsiasi utilizzando operazioni aritmetiche . Se è collegato, quindi . $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— Radu Curticapean
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