Riferimenti sui limiti inferiori del circuito

Preambolo

Sistemi di prove interattive e protocolli Arthur-Merlin furono introdotti da Goldwasser, Micali e Rackoff e Babai nel 1985. Inizialmente, si pensava che il primo fosse più potente del secondo, ma Goldwasser e Sipser dimostrarono che avevano lo stesso potere ( rispetto al riconoscimento linguistico). Quindi, in questo post, userò i due concetti in modo intercambiabile.

Lascia che sia la classe di lingue che ammette un sistema di prove interattivo con round. Babai ha dimostrato che . (Un risultato relativizzabile.)k I P [ O ( 1 ) ] ⊆ Π P $IP[k]$$k$$IP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P$

Inizialmente, non si sapeva se il numero illimitato di round potesse aumentare la potenza dell'IP. In particolare, è stato dimostrato di avere relativizzazioni contraddittori: Fortnow e Sipser hanno dimostrato che per alcuni Oracle , si sostiene che . (Pertanto, rispetto ad , non è una superclasse di .)$A$ A I P [ p o l y ] P $coNP^A \not\subset IP[poly]^A$$A$$IP[poly]$$PH$

D'altra parte, il seguente documento:

Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. On the power of interaction. In Proceedings of the 27th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (October 27 - 29, 1986). SFCS. IEEE Computer Society, Washington, DC, 368-379. DOI= http://dx.doi.org/10.1109/SFCS.1986.36

mostra che, per alcuni Oracle , abbiamo . (Pertanto, poiché come indicato sopra, quest'ultima è una sottoclasse di .)I P [ p o l y ] B ⊄ P H B I P [ p o l y ] B ≠ I P [ O ( 1 ) ] B Π P , B$B$$IP[poly]^B \not\subset PH^B$$IP[poly]^B \neq IP[O(1)]^B$$\Pi_2^{P,B}$

La domanda

L'articolo di Aiello, Goldwaseer e Hastad (sopra citato) afferma:

Le tecniche impiegate sono estensioni delle tecniche per dimostrare limiti inferiori su piccoli circuiti di profondità utilizzati in [FSS], [Y] e [H1].

dove [FSS], [Y] e [H1] sono:

[FSS] Furst M., Saxe J. and Sipser M., "Parity, Circuits, and the Polynomial Time Hierarchy," Proceedings 22nd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1981, 260-270.

[Y] Yao A. "Separating the Polynomial-Time Hierarchy by Oracles," Proceedings of 6th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 1985, 1-10.

[H1] Hastad J. "Almost optimal lower bounds for small depth circuits," Proceedings of 18th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1986, 6-20.

Ho trovato i documenti molto vecchi ed estremamente difficili da seguire. Ho letto il capitolo 14 del libro di Arora & Barak , ma a quanto pare non copre tutto ciò di cui ho bisogno.

Quali riferimenti su "Circuito inferiore limiti" suggerisci?

(Ho particolarmente bisogno di riferimenti simili a quelli di un sondaggio; quelli che sono più recenti e che non richiedono molta esperienza sono più preferibili.)

Quello che vuoi è un buon riferimento per comprendere i limiti inferiori esponenziali per i circuiti che calcolano la funzione PARITY.$AC^0$

Ora non hai dichiarato se vuoi davvero capire la prova, o semplicemente capire le cose ad alto livello, il modo in cui un articolo del sondaggio spiegherebbe le cose.

Un articolo del sondaggio che ho letto e apprezzato di recente è " La complessità delle funzioni finite " di Boppana e Sipser.

Se vuoi davvero sederti e capire la prova, puoi leggere le prove basate sul lemma di commutazione (che appare nei documenti che hai citato - [FSS], [Y] e [H1]) o Razborov-Smolensky prova.

Per le prove che utilizzano Switching Lemma, il Ph.D. di Håstad la tesi è una buona lettura, se un po 'difficile da seguire se sei nuovo nell'area. Una migliore esposizione della dimostrazione è in "Introduzione alla complessità del circuito e una guida alla dimostrazione di Håstad" di Allan Heydon. L'unico problema è che non riesco a trovarlo online e ne ho una copia cartacea. Lo consiglio vivamente se non si conosce la complessità del circuito.

Per l'approccio Razborov-Smolensky, basta cercarlo su Google e riceverai un mucchio di appunti di lezione. Ho capito il limite inferiore da questi tre appunti della lezione: Sanjeev Arora , Madhu Sudan e Kristo f er Arnsfelt Hansen .

Se trovi difficile esporre l'esposizione di Switching Lemma nella tesi di Hastad, puoi provare `` A Switching Lemma Primer '' di Paul Beame , che ha una versione diversa a causa di Razborov (che usa esplicitamente alberi delle decisioni, qualcosa di cruciale in alcune applicazioni di Switching Lemma)

Questo libro è ottimo per spiegare i limiti inferiori, se si ha accesso ad esso.

Introduzione alla complessità del circuito di Heribert Vollmer.

Ho appena finito di leggerlo, e anche se dice che "introduzione" è un trattamento molto profondo sulla complessità del circuito. Spiega con dettagli tutte le tecniche (più popolari) per dimostrare i limiti inferiori del circuito nel capitolo 3.

Un riferimento più recente sarebbe la complessità delle funzioni booleane di Stasys Jukna. Devi solo inviargli un'e-mail o compilare il modulo per ottenere il pdf della bozza.

Un riferimento più vecchio ma comunque piacevole è il sondaggio The Complexity of Finite Functions di Boppana e Sipser. Questo sondaggio è molto leggibile rispetto ad altre fonti.

Un altro buon riferimento è il libro Funzioni booleane e modelli di calcolo di Clote e Kranakis.

Non sono uno specialista, ma probabilmente ci sono informazioni interessanti nel libro blu ( http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ ).

C'è anche un articolo di Allender nel 1997: Circuit Complexity prima dell'alba del nuovo millennio

Emanuele Viola ha pubblicato il libro " On the Power of Small-Depth Computation " che include molti risultati sui limiti inferiori del circuito.

Una versione preliminare del libro è disponibile qui .