[1] dimostra un limite inferiore per le istanze di flusso mincost le cui dimensioni di bit sono sufficientemente grandi (ma comunque lineari) rispetto alle dimensioni del grafico, e inoltre ha dimostrato che se si potesse mostrare lo stesso limite inferiore per input di dimensioni sufficientemente piccole la dimensione dei bit implicherebbe (e quindi P ≠ L ). Questo è, ad alto livello, lo stesso della risposta di Noam in quanto si tratta di dimostrare limiti inferiori di profondità del circuito (= limiti inferiori di dimensioni della formula), ma sembra essere una direzione molto diversa rispetto ai giochi di Karchmer-Wigderson.P≠NCP≠L
Più in dettaglio, [1] mostra quanto segue. Usando la stessa notazione del documento, lascia che indichi il linguaggio del flusso di mincost. Possiamo pensare al linguaggio del flusso di mincost sui grafici n -vertex, indicato con L ( n ) , come un sottoinsieme di Z k ( n ) per alcuni k ( n ) = Θ ( n 2 ) , con numeri interi codificati da stringhe di bit . Sia B ( a , n ) denota l'insieme di tutti i vettori in Z k ( n )LnL(n)Zk(n)k(n)=Θ(n2)B(a,n)Zk(n)dove ogni coordinata intera ha una dimensione in bit al massimo . Data una funzione f ( x 1 , … , x k ) (specificheremo quale tipo di funzione in seguito), diciamo che f separa L ( n ) all'interno di B ( a , n ) se i punti in L ( n ) ∩ B ( a , n ) sono esattamente quelli → x ∈ B ( a ,anf(x1,…,xk)fL(n)B(a,n)L(n)∩B(a,n) tale che f ( → x ) = 1 .x⃗ ∈B(a,n)f(x⃗ )=1
Proposizione [1, Proposizione 7.3] Se è separato in B ( a , n ) da det ( M ( → x ) ) dove M è una matrice di dimensioni ≤ 2 n / d le cui voci sono combinazioni lineari (complesse) di x 1 , … , x k , e tale che a < 1 / ( 2 d ) , quindi P ≠ NL(n)B(a,n)det(M(x⃗ ))M≤2n/dx1,…,xka<1/(2d) .P≠NC
La relazione tra il bit-bound e la dimensione legata 2 n / d è cruciale qui. Nello stesso documento, ha mostrato:an2n/d
Teorema [1, Teorema 7.4] L'ipotesi della proposizione precedente vale per tutti i limiti di bit sufficientemente ampi .a
La dimostrazione del teorema di cui sopra utilizza alcuni martelli pesanti come scatole nere, ma è altrimenti elementare (nota: "elementare" " facile "). Vale a dire, utilizza il limite di Milnor-Thom sul numero di componenti collegati di una varietà semialgebrica reale (lo stesso limite utilizzato da Ben-Or per dimostrare limiti inferiori sulla distinzione / ordinamento degli elementi nel modello dell'albero di calcolo reale), la decomposizione Collins ( usato per dimostrare un'efficace eliminazione del quantificatore su R ), un argomento di posizione generale e poche altre idee. Tuttavia, tutte queste tecniche dipendevano solo dal grado dei polinomi coinvolti, e quindi non possono essere utilizzate per dimostrare P ≠ N C come nella precedente proposizione (in effetti, [1, Prop. 7.5] costruisce un polinomio≠RP≠NC dello stesso grado di det tale che la proposizione di cui sopra fallisce con g al posto di det ). Analizzare questa situazione e cercare proprietà che andavano oltre il grado era una delle ispirazioni per GCT.gdetgdet
[1] K. Mulmuley. Riduzione dei limiti in un modello parallelo senza operazioni di bit . SIAM J. Comput., 28 (4), 1460–1509, 1999