Separare lo spazio dei registri dal tempo polinomiale


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È chiaro che qualsiasi problema decidibile nello spazio logistico deterministico ( L ) viene eseguito al massimo nel tempo polinomiale ( ). C'è una ricchezza di classi di complessità tra e . Gli esempi includono , , , , , . E 'opinione diffusa che .L P N L L o g C F L N C i S A C i A C i S C i L PPLPNLLogCFLNCiSACiACiSCiLP

In uno dei miei post sul blog ho già detto due approcci (insieme con le congetture corrispondenti) in direzione dimostrando LP . Entrambi questi approcci si basano su programmi di diramazione e distano 20 anni !! Ci sono altri approcci e / o congetture verso separando L da P (o) separare eventuali classi intermedie tra L e P .


penso che questo problema di compressione di una sequenza di esecuzione TM sia correlato
vzn

Risposte:


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I limiti inferiori di profondità del circuito (equivalentemente, limiti inferiori di dimensione della formula) sono probabilmente l'approccio più naturale: un limite inferiore di profondità Super- log2(n) per un problema in P separerebbe P da L , e la tecnica di complessità della comunicazione di Karchmer-Wigderson potrebbe sii quello naturale per quello.


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Gli ostacoli a prova naturale non sarebbero un problema qui? Sono curioso di sapere perché sarebbe così.
Suresh Venkat,

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Sì, sembra che una tale prova debba essere "non naturale", ma per quanto ne so, dovrebbero essere gli altri approcci citati nel post del blog.
Noam,

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[1] dimostra un limite inferiore per le istanze di flusso mincost le cui dimensioni di bit sono sufficientemente grandi (ma comunque lineari) rispetto alle dimensioni del grafico, e inoltre ha dimostrato che se si potesse mostrare lo stesso limite inferiore per input di dimensioni sufficientemente piccole la dimensione dei bit implicherebbe (e quindi PL ). Questo è, ad alto livello, lo stesso della risposta di Noam in quanto si tratta di dimostrare limiti inferiori di profondità del circuito (= limiti inferiori di dimensioni della formula), ma sembra essere una direzione molto diversa rispetto ai giochi di Karchmer-Wigderson.PNCPL

Più in dettaglio, [1] mostra quanto segue. Usando la stessa notazione del documento, lascia che indichi il linguaggio del flusso di mincost. Possiamo pensare al linguaggio del flusso di mincost sui grafici n -vertex, indicato con L ( n ) , come un sottoinsieme di Z k ( n ) per alcuni k ( n ) = Θ ( n 2 ) , con numeri interi codificati da stringhe di bit . Sia B ( a , n ) denota l'insieme di tutti i vettori in Z k ( n )LnL(n)Zk(n)k(n)=Θ(n2)B(a,n)Zk(n)dove ogni coordinata intera ha una dimensione in bit al massimo . Data una funzione f ( x 1 , , x k ) (specificheremo quale tipo di funzione in seguito), diciamo che f separa L ( n ) all'interno di B ( a , n ) se i punti in L ( n ) B ( a , n ) sono esattamente quelli xB ( a ,anf(x1,,xk)fL(n)B(a,n)L(n)B(a,n) tale che f ( x ) = 1 .xB(a,n)f(x)=1

Proposizione [1, Proposizione 7.3] Se è separato in B ( a , n ) da det ( M ( x ) ) dove M è una matrice di dimensioni 2 n / d le cui voci sono combinazioni lineari (complesse) di x 1 , , x k , e tale che a < 1 / ( 2 d ) , quindi PNL(n)B(a,n)det(M(x))M2n/dx1,,xka<1/(2d) .PNC

La relazione tra il bit-bound e la dimensione legata 2 n / d è cruciale qui. Nello stesso documento, ha mostrato:an2n/d

Teorema [1, Teorema 7.4] L'ipotesi della proposizione precedente vale per tutti i limiti di bit sufficientemente ampi .a

La dimostrazione del teorema di cui sopra utilizza alcuni martelli pesanti come scatole nere, ma è altrimenti elementare (nota: "elementare" " facile "). Vale a dire, utilizza il limite di Milnor-Thom sul numero di componenti collegati di una varietà semialgebrica reale (lo stesso limite utilizzato da Ben-Or per dimostrare limiti inferiori sulla distinzione / ordinamento degli elementi nel modello dell'albero di calcolo reale), la decomposizione Collins ( usato per dimostrare un'efficace eliminazione del quantificatore su R ), un argomento di posizione generale e poche altre idee. Tuttavia, tutte queste tecniche dipendevano solo dal grado dei polinomi coinvolti, e quindi non possono essere utilizzate per dimostrare PN C come nella precedente proposizione (in effetti, [1, Prop. 7.5] costruisce un polinomioRPNC dello stesso grado di det tale che la proposizione di cui sopra fallisce con g al posto di det ). Analizzare questa situazione e cercare proprietà che andavano oltre il grado era una delle ispirazioni per GCT.gdetgdet

[1] K. Mulmuley. Riduzione dei limiti in un modello parallelo senza operazioni di bit . SIAM J. Comput., 28 (4), 1460–1509, 1999


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Ha reso felice la mia giornata quando il mio amico James mi ha detto che questo thread di tanto tempo fa è stato riacceso. Grazie per questo.

Inoltre, ho avuto il bisogno di condividere alcuni riferimenti interessanti che sono rilevanti per L vs Log (DCFL) vs Log (CFL). Vi auguro una buona giornata!

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata


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questo nuovo articolo è stato appena messo in evidenza da Luca Aceto nel suo blog come miglior documento EATCS per studenti all'ICALP 2014 e ha un nuovo modo di separare NL / P:

  • Risultati di durezza per intersezione non vuoto Wehar

    Riesaminiamo attentamente una costruzione di Karakostas, Lipton e Viglas (2003) per dimostrare che il problema di non vuoto delle intersezioni per gli automi finiti deterministici caratterizza la classe di complessità NL. In particolare, se limitato a un alfabeto del nastro di lavoro binario, esistono costanti e c 2 tali che per ogni k intersezione la non vacuità per k DFA è risolvibile nello spazio c 1 k log ( n ) , ma non è risolvibile in c 2 k log ( n )c1c2kkc1klog(n)c2klog(n)spazio. Ottimizziamo la costruzione per mostrare un numero arbitrario di non vuoto di intersezione di DFA non risolvibile in spazio. Inoltre, se esiste una funzionef(k)=o(k)tale che per ogniintersezionek lanon vuoto perk DFA è risolvibile innf(k)tempo, allora P ≠ NL. Se non esiste una costante o(nlog(n)log(log(n)))f(k)=o(k)kknf(k) tale che per ogni k intersezione la non vuoto per k DFA è risolvibile in n cckknc tempo, quindi P non contiene alcuna classe di complessità dello spazio maggiore di NL.

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