Separare lo spazio dei registri dal tempo polinomiale

È chiaro che qualsiasi problema decidibile nello spazio logistico deterministico ( $L$ ) viene eseguito al massimo nel tempo polinomiale ( ). C'è una ricchezza di classi di complessità tra e . Gli esempi includono , , , , , . E 'opinione diffusa che .L P N L L o g C F L N C i S A C i A C i S C i L ≠ $P$$L$$P$$NL$$LogCFL$$NC^i$$SAC^i$$AC^i$$SC^i$$L \neq P$

In uno dei miei post sul blog ho già detto due approcci (insieme con le congetture corrispondenti) in direzione dimostrando $L \neq P$ . Entrambi questi approcci si basano su programmi di diramazione e distano 20 anni !! Ci sono altri approcci e / o congetture verso separando $L$ da $P$ (o) separare eventuali classi intermedie tra $L$ e $P$ .

I limiti inferiori di profondità del circuito (equivalentemente, limiti inferiori di dimensione della formula) sono probabilmente l'approccio più naturale: un limite inferiore di profondità Super- $\log^2(n)$ per un problema in $\mathsf P$ separerebbe $\mathsf P$ da $\mathsf L$ , e la tecnica di complessità della comunicazione di Karchmer-Wigderson potrebbe sii quello naturale per quello.

[1] dimostra un limite inferiore per le istanze di flusso mincost le cui dimensioni di bit sono sufficientemente grandi (ma comunque lineari) rispetto alle dimensioni del grafico, e inoltre ha dimostrato che se si potesse mostrare lo stesso limite inferiore per input di dimensioni sufficientemente piccole la dimensione dei bit implicherebbe (e quindi P ≠ L ). Questo è, ad alto livello, lo stesso della risposta di Noam in quanto si tratta di dimostrare limiti inferiori di profondità del circuito (= limiti inferiori di dimensioni della formula), ma sembra essere una direzione molto diversa rispetto ai giochi di Karchmer-Wigderson.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

Più in dettaglio, [1] mostra quanto segue. Usando la stessa notazione del documento, lascia che indichi il linguaggio del flusso di mincost. Possiamo pensare al linguaggio del flusso di mincost sui grafici n -vertex, indicato con L ( n ) , come un sottoinsieme di Z k ( n ) per alcuni k ( n ) = Θ ( n 2 ) , con numeri interi codificati da stringhe di bit . Sia B ( a , n ) denota l'insieme di tutti i vettori in Z k ( n $L$$n$$L(n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$$k(n) = \Theta(n^2)$$B(a,n)$$\mathbb{Z}^{k(n)}$dove ogni coordinata intera ha una dimensione in bit al massimo . Data una funzione f ( x 1 , … , x k ) (specificheremo quale tipo di funzione in seguito), diciamo che f separa L ( n ) all'interno di B ( a , n ) se i punti in L ( n ) ∩ B ( a , n ) sono esattamente quelli → x ∈ B ( a $an$$f(x_1, \dotsc, x_k)$$f$$L(n)$$B(a,n)$$L(n) \cap B(a,n)$ tale che f ( → x ) = 1 .$\vec{x} \in B(a,n)$$f(\vec{x}) = 1$

Proposizione [1, Proposizione 7.3] Se è separato in B ( a , n ) da det ( M ( → x ) ) dove M è una matrice di dimensioni ≤ 2 n / d le cui voci sono combinazioni lineari (complesse) di x 1 , … , x k , e tale che a < 1 / ( 2 d ) , quindi P ≠ $L(n)$$B(a,n)$$\det(M(\vec{x}))$$M$$\leq 2^{n/d}$$x_1, \dotsc, x_k$$a < 1/(2d)$ .$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

La relazione tra il bit-bound e la dimensione legata 2 n / d è cruciale qui. Nello stesso documento, ha mostrato:$an$$2^{n/d}$

Teorema [1, Teorema 7.4] L'ipotesi della proposizione precedente vale per tutti i limiti di bit sufficientemente ampi .$a$

La dimostrazione del teorema di cui sopra utilizza alcuni martelli pesanti come scatole nere, ma è altrimenti elementare (nota: "elementare" " facile "). Vale a dire, utilizza il limite di Milnor-Thom sul numero di componenti collegati di una varietà semialgebrica reale (lo stesso limite utilizzato da Ben-Or per dimostrare limiti inferiori sulla distinzione / ordinamento degli elementi nel modello dell'albero di calcolo reale), la decomposizione Collins ( usato per dimostrare un'efficace eliminazione del quantificatore su R ), un argomento di posizione generale e poche altre idee. Tuttavia, tutte queste tecniche dipendevano solo dal grado dei polinomi coinvolti, e quindi non possono essere utilizzate per dimostrare P ≠ N C come nella precedente proposizione (in effetti, [1, Prop. 7.5] costruisce un polinomio$\neq$$\mathbb{R}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ dello stesso grado di det tale che la proposizione di cui sopra fallisce con g al posto di det ). Analizzare questa situazione e cercare proprietà che andavano oltre il grado era una delle ispirazioni per GCT.$g$$\det$$g$$\det$

[1] K. Mulmuley. Riduzione dei limiti in un modello parallelo senza operazioni di bit . SIAM J. Comput., 28 (4), 1460–1509, 1999

Ha reso felice la mia giornata quando il mio amico James mi ha detto che questo thread di tanto tempo fa è stato riacceso. Grazie per questo.

Inoltre, ho avuto il bisogno di condividere alcuni riferimenti interessanti che sono rilevanti per L vs Log (DCFL) vs Log (CFL). Vi auguro una buona giornata!

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

questo nuovo articolo è stato appena messo in evidenza da Luca Aceto nel suo blog come miglior documento EATCS per studenti all'ICALP 2014 e ha un nuovo modo di separare NL / P:

• Risultati di durezza per intersezione non vuoto Wehar

  Riesaminiamo attentamente una costruzione di Karakostas, Lipton e Viglas (2003) per dimostrare che il problema di non vuoto delle intersezioni per gli automi finiti deterministici caratterizza la classe di complessità NL. In particolare, se limitato a un alfabeto del nastro di lavoro binario, esistono costanti e c 2 tali che per ogni k intersezione la non vacuità per k DFA è risolvibile nello spazio c 1 k log ( n ) , ma non è risolvibile in c 2 k log ( n $c_1$$c_2$$k$$k$$c_1 k \log(n)$$c_2 k \log(n)$spazio. Ottimizziamo la costruzione per mostrare un numero arbitrario di non vuoto di intersezione di DFA non risolvibile in spazio. Inoltre, se esiste una funzionef(k)=o(k)tale che per ogniintersezionek lanon vuoto perk DFA è risolvibile innf(k)tempo, allora P ≠ NL. Se non esiste una costante $o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$$f(k) = o(k)$$k$$k$$n^{f(k)}$ tale che per ogni k intersezione la non vuoto per k DFA è risolvibile in n $c$$k$$k$$n^c$ tempo, quindi P non contiene alcuna classe di complessità dello spazio maggiore di NL.