C'è una spiegazione per la difficoltà di provare limiti inferiori quadratici per interessanti problemi NP?

Questo è un seguito alla mia domanda precedente:

La complessità temporale deterministica più nota è inferiore per un problema naturale in NP

Trovo sconcertante che non siamo stati in grado di dimostrare un tempo deterministico quadratico inferiore per qualsiasi problema NP interessante a cui la gente si preoccupa e provare a progettare algoritmi migliori per. La nostra congettura sull'ipotesi del tempo esponenziale afferma che SAT non può essere risolto in tempo deterministico subsponenziale, tuttavia non possiamo nemmeno dimostrare che SAT (o qualsiasi altro problema NP interessante) richiede tempo quadratico!

So che interessante è in qualche modo soggettivo e vago. Non ho una definizione Ma lasciami provare a descrivere quello che considero un problema interessante: sto parlando di problemi che più di alcune persone trovano interessanti. Non sto parlando di problemi isolati progettati principalmente per rispondere ad alcune domande teoriche. Se le persone non stanno cercando di trovare algoritmi più veloci per un problema, significa che il problema non è così interessante. Se vuoi esempi concreti di problemi interessanti, considera i problemi nel documento di Karp del 1972 o in Garey e Johnson 1979 (la maggior parte di essi).

C'è qualche spiegazione del perché non siamo stati in grado di dimostrare un tempo deterministico quadratico inferiore per qualsiasi problema NP interessante?

— Anonimo
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Perché i limiti inferiori sono difficili? Che tipo di spiegazione ti soddisferebbe?

— Jeffε,

@ Jɛ ﬀ E che ne dici di spiegazioni non banali che sono informative e perspicaci? Intuizioni o risultati che spiegano perché siamo bloccati dove stiamo provando limiti inferiori. Dato che le nostre affermazioni sono state molto più forti dei nostri risultati, sono sicuro che altri esperti hanno pensato al perché dopo decenni di tentativi non siamo stati in grado di ottenere un limite inferiore quadratico su un interessante problema NP.

— Anonimo

Ecco una spiegazione dal blog di Lipton; Esca e interruttore: perché i limiti inferiori sono così difficili? rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/…

— Mohammad Al-Turkistany,

n^{2}

$n^2$

La questione dei limiti inferiori del tempo quadratico è rilevante quando si limita gli algoritmi a disporre di uno spazio molto ridotto (ad esempio, polilogo) o quando si esaminano le macchine Turing a nastro singolo (che hanno un accesso molto limitato alla memoria). Ma quando la memoria è illimitata e l'accesso alla memoria è illimitato, la domanda "reale" è se ci sono limiti inferiori di tempo super-lineari per problemi NP interessanti, in qualsiasi modello computazionale ad accesso casuale. (Grandjean ha dimostrato alcuni limiti inferiori superlineari per le macchine Turing multitape, ma si basano sulla struttura dei nastri monodimensionali.)

— Ryan Williams,

Risposte:

Ecco una spiegazione dal blog di Lipton: Esca e interruttore: perché i limiti inferiori sono così difficili?

$n^2$

L'intuizione di Rudich spiega perché qualsiasi prova con limite inferiore che si basa sul seguente metodo non può funzionare.

$f$ $f$

Fondamentalmente, non vi è alcuna misura di progresso che possa sopravvivere al trucco di Esca e Cambio di Rudich e portare con successo a un limite inferiore.

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

Puoi trovare un'altra visione dell'argomento "esca e cambiare" nel capitolo delle prove naturali di Arora-Barak. Usano lo stesso argomento per sostenere che un argomento con limite inferiore di stile "misura di complessità formale" deve essere applicato a funzioni casuali con alta probabilità. Ma se una misura formale della complessità

assegna elevata complessità a una funzione casuale
non assegna elevata complessità a una funzione semplice
può essere facilmente calcolato dalla tabella di verità di una funzione

quindi può essere usato per rompere i generatori pseudocasuali. Questa è la barriera delle prove naturali, in modo informale. Abbiamo sostenuto che 1. è molto ragionevole per molti approcci ai limiti inferiori, senza 2. la misura della complessità sembra inutile e 3. si basa sull'osservazione che siamo stati in grado di trasformare la maggior parte delle prove dell'esistenza combinatoria in algoritmi efficienti, e sul intuizione che una prova intrinsecamente non costruttiva è difficile da escogitare.

$C$ $C'$ $C'$ $C$

— Sasho Nikolov
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