Limite inferiore del circuito su serie arbitrarie di porte

Negli anni '80, Razborov mostrò notoriamente che ci sono esplicite funzioni booleane monotone (come la funzione CLIQUE) che richiedono esponenzialmente molte porte AND e OR per il calcolo. Tuttavia, la base {AND, OR} sul dominio booleano {0,1} è solo un esempio di un insieme di gate interessanti che non sono universali. Questo porta alla mia domanda:

Esiste un altro insieme di porte, interessantemente diverso dalle porte monotone, per le quali sono noti limiti inferiori esponenziali sulla dimensione del circuito (senza profondità o altre restrizioni sul circuito)? Altrimenti, c'è qualche altra serie di porte che è un candidato plausibile per tali limiti inferiori - limiti che non richiederebbero necessariamente di superare la barriera Natural Proofs, come non ha fatto il risultato dei circuiti monotono di Razborov?

Se esiste un tale set di gate, sicuramente sarà sopra un alfabeto k-ary per k≥3. Il motivo è che, su un alfabeto binario, il

(1) porte monotone ({AND, OR}),

(2) porte lineari ({NOT, XOR}) e

(3) cancelli universali ({AND, OR, NOT})

sostanzialmente esauriscono le possibilità interessanti, come segue dal teorema di classificazione di Post. (Si noti che suppongo che le costanti --- 0 e 1 nel caso binario --- siano sempre disponibili gratuitamente.) Con le porte lineari, ogni funzione booleana f: {0,1} ⁿ → {0,1} calcolabile affatto è calcolabile da un circuito di dimensioni lineari; con un set universale, ovviamente siamo contro le Prove Naturali e le altre terrificanti barriere.

D'altra parte, se consideriamo i set di gate su un alfabeto a 3 o 4 simboli (per esempio), allora si apre una serie più ampia di possibilità --- e almeno per quanto ne sappia, quelle possibilità non sono mai state completamente mappate dal punto di vista della teoria della complessità (per favore correggimi se sbaglio). So che i possibili set di gate sono ampiamente studiati sotto il nome di "cloni" nell'algebra universale; Mi piacerebbe avere più familiarità con quella letteratura in modo da sapere cosa semmai i risultati di quell'area significano per la complessità del circuito.

In ogni caso, non sembra fuori discussione che ci siano altri limiti inferiori del circuito drammatico maturi per la dimostrazione, se semplicemente espandiamo la classe di gate set su alfabeti finiti che siamo disposti a considerare. Se sbaglio, per favore dimmi perché!

(Spostato dai commenti come suggerito da Suresh. Nota che alcuni errori nel commento sono stati corretti qui.)

Grazie a Scott per un'ottima domanda.

Scott sembra suggerire che la ragione della difficoltà dei limiti inferiori potrebbe essere il linguaggio limitato delle operazioni nel caso booleano. L'argomento di conteggio di Shannon che mostra che la maggior parte dei circuiti deve essere grande si basa sul divario tra potere espressivo numerabile e innumerevoli circuiti. Questo divario sembra scomparire quando l'alfabeto ha almeno 3 simboli.

Per la dimensione dell'alfabeto 2 (il caso booleano), il reticolo dei cloni è numerosamente infinito e si chiama reticolo di Post .

Il reticolo di Post chiarisce anche perché ci sono solo alcune basi di operazioni interessanti per il caso booleano.

Per l'alfabeto di dimensione 3 o superiore, il reticolo dei cloni non è numerabile. Inoltre, il reticolo non soddisfa alcuna identità di traliccio non banale, quindi sembra impossibile fornire una descrizione completa del reticolo. Per l'alfabeto di dimensione 4 o superiore, il reticolo dei cloni in realtà contiene ogni reticolo finito come una grata secondaria. Quindi ci sono infinitamente molte basi di operazioni forse interessanti da considerare quando l'alfabeto ha 3 o più simboli.

• Bulatov, Andrei A., Condizioni soddisfatte da reticoli di cloni , Algebra Universalis 46 237-241, 2001. doi: 10.1007 / PL00000340

Scott chiese ancora: il reticolo dei cloni rimane non numerabile se assumiamo che le costanti siano disponibili gratuitamente?

La risposta è che lo fa, vedi per esempio

• Gradimir Vojvodić, Jovanka Pantović e Ratko Tošić, Il numero di cloni contenenti una funzione unaria , NSJOM 27 83–87, 1997. ( PDF )
• J. Pantović, R. Tošić e G. Vojvodić, La cardinalità di algebre funzionalmente complete su un set di tre elementi , Algebra Universalis 38 136–140, 1997. doi: 10.1007 / s000120050042

sebbene apparentemente questo sia stato pubblicato prima:

• Ágoston, I., Demetrovics, J. e Hannák, L. Sul numero di cloni che contengono tutte le costanti , Coll. Matematica. Soc. János Bolyai 43 21–25, 1983.

Una bella affermazione specifica proviene da:

• A. Bulatov, A. Krokhin, K. Safin ed E. Sukhanov, Sulla struttura dei reticoli dei cloni , In: "Algebra generale e matematica discreta", editori: K. Denecke e O. Lueders, 27–34. Heldermann Verlag, Berlino, 1995. ( PS )

Corollario 3 (attribuito ad Ágoston et al. Come sopra): Let . Quindi il numero di cloni in contenente tutte le costanti è .L k 2 ℵ $k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

Per concludere, non sono a conoscenza di alcun lavoro sull'uso di cloni non booleani per i limiti inferiori del circuito. Questo sembra valere la pena di approfondire. Dato il relativamente poco noto sul reticolo dei cloni, potrebbero esserci interessanti basi di operazioni in attesa di essere scoperte.

Ulteriori collegamenti tra la teoria dei cloni e l'informatica probabilmente sarebbero anche di grande interesse per i matematici che lavorano nell'algebra universale. Un precedente esempio di questo tipo di interazione si è verificato quando Peter Jeavons ha dimostrato che le algebre potrebbero essere associate ai linguaggi di vincolo, in modo da consentire la traduzione dei risultati della tracciabilità in proprietà dell'algebra. Andrei Bulatov ha usato questo per dimostrare la dicotomia per CSP con dimensione di dominio 3. In alternativa, c'è stato un risveglio nell'interesse per la teoria della congruenza addomesticata come risultato dell'applicazione informatica. Mi chiedo cosa sarebbe seguito da un legame tra la teoria dei cloni e la complessità del circuito non booleano.

Questo è spostato dai commenti, come suggerito da Suresh.

$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

Modifica 2. L'ostacolo principale è che non abbiamo alcun metodo per provare limiti inferiori non lineari anche per cancelli lineari, per quanto ne so (per limiti inferiori lineari si può usare l'eliminazione del cancello, che è molto improbabile dare -lineari). Anche se sembra che alcuni metodi dell'algebra lineare debbano essere davvero utili. Quindi venire con i candidati è bello, ma sono comunque necessari alcuni nuovi metodi.

1. $\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$f ( a ) = 0 a 0 2 a 1 2 n / $xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$$a$è almeno il numero di . Mostra che qualsiasi base di circuito (oltre quella MIN / XOR) richiede circa porte per calcolare . Ma quello era! Non sono a conoscenza di ulteriori risultati in un favore simile (andando a domini più grandi, ma ancora limitati) tranne, ovviamente, la materia dei circuiti aritmetici. Ma solo per i circuiti: per i programmi di diramazione che vanno a domini più grandi, il compito di limiti inferiori è leggermente più semplice. $1$$2^n/\sqrt{n}$$f$

2. Su circuiti con porte XOR. Qui anche il caso della profondità è ampiamente aperto. I limiti inferiori più alti per trasformazioni lineari esplicite over hanno la forma . Dimostrare un limite come per una costante , anche in profondità e anche se sono consentite solo porte XOR, è una sfida.y = A x G F ( 2 ) n log 3 / 2 n n 1 + c c > 0 $2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$