La gerarchia di

$\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

La voce Zoo per $\mathsf{TC^0}$ menziona solo la separazione tra profondità 2 e 3.

C'è anche un riferimento standard per il fatto che la $\mathsf{AC^0_d}$ non collassa?

— Kaveh
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Una domanda correlata sarebbe: quante funzioni distinte ci sono in

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$ /

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$ ? Un limite inferiore ragionevole a queste quantità risponderebbe alle vostre domande. Anche una prova di rigidità per il lemma di commutazione di Hastad potrebbe forse rispondere alla tua seconda domanda.

— MCH

Per la seconda domanda, credo che sia stato provato per la prima volta nel documento STOC '83 di Sipser "Set di Borel e complessità del circuito" . Questo però dà solo limiti inferiori super polinomiali. I primi limiti inferiori esponenziali furono dati da Yao, successivamente migliorati da Håstad.

— Robin Kothari,

@MCH, intendevi scrivere ? O vuoi dire il numero di classi di equivalenza di problemi WRT riduzioni?

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$

— Kaveh,

Ciò che intendo è molto semplice: quante funzioni distinte può rappresentare la classe di circuiti di dimensioni ? (Siamo in grado di stimare il numero di circuiti molto facilmente ma dovremmo stare attenti che alcuni di essi possano calcolare la stessa funzione.) Una volta dimostrato che questa quantità cresce con , il gioco è fatto.

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

s

$s$

d

$d$

— MCH

@Dilworth, non uniforme. Il conteggio non sembra funzionare, altrimenti, come ho notato sotto, potremmo separare da che è aperto.

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Kaveh,

Risposte:

Non conosciamo buoni limiti inferiori (che significa, per esempio, un limite inferiore superpolinomiale per una lingua in ) per i circuiti di soglia di profondità 2 (pesi illimitati). Profondità 3 circuiti costruiti da porte di maggioranza, ovvero contiene questa classe, e quindi non conosciamo nemmeno buoni limiti inferiori per questa classe. $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Questo risponde alla mia domanda. Grazie Kristoffer.

— Kaveh,

Come ho scritto nel commento sopra, anche se non è noto che un problema in NEXP sia esterno a TC , non è ancora possibile che la gerarchia TC non uniforme sia corretta tramite un argomento di conteggio inferiore?

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— Dilworth,

Inoltre, posso indagare, in che modo ciò è coerente con i limiti inferiori esponenziali noti su TC e la separazione della profondità 3 dai circuiti di soglia della profondità 2, come riportato nello zoo della complessità? Mi sto perdendo qualcosa?

_{2}^{0}

$_2^0$

— Dilworth,

@Dilworth, penso che sia perché è definito usando Maggioranza non Soglia.

— Kaveh,

Hmm .. cosa intendi esattamente? Questo è legato alla nota fatta da Kristoffer sui "pesi illimitati"?

— Dilworth,

Se non sto commettendo un errore, sembra che provare che la non collassi sia difficile almeno quanto separare da : $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

Indichiamo il problema di valutazione della formula booleana da parte di . è completo per le in . $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

Di Manindra Agrawal, Eric Allender e Steven Rudich, " Riduzioni nella complessità dei circuiti: un teorema di isomorfismo e un teorema di gap ", 1999, è completo per le sotto . $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

Assumi . Quindi per alcuni . Pertanto . Ciò significa che . $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

Così per tutti abbiamo $d$

$\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ implica e . $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— Kaveh
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