Un semplice caso di SAT che non è facile per la risoluzione degli alberi

Esiste una formula naturale di formule CNF - preferibilmente una che è stata precedentemente studiata in letteratura - con le seguenti proprietà:$C$

• C F ∈ $C$ è un semplice caso di SAT, come ad esempio Horn o 2-CNF, vale a dire che l'appartenenza a può essere testata in tempo polinomiale e le formule possono essere testate per la soddisfacibilità in tempo polinomiale.$C$$F\in C$
• Le formule insoddisfacenti non sono note per avere confutazioni di risoluzione brevi (dimensioni polinomiali) simili ad alberi. Ancora meglio sarebbe: ci sono formule insoddisfacenti in per le quali è noto un limite inferiore super polinomiale per la risoluzione simile ad un albero.$F\in C$$C$
• D'altra parte, è noto che le formule insoddisfacenti in hanno prove brevi in ​​alcuni sistemi di prova più forti, ad esempio in una risoluzione simile a un dag o in un sistema ancora più forte.$C$

$C$ non dovrebbe essere troppo scarso, cioè contenere molte formule con variabili, per ogni (o almeno per la maggior parte dei valori di) . Dovrebbe anche essere non banale, nel senso di contenere formule soddisfacenti e insoddisfacenti.$n$$n\in \mathbb{N}$

Il seguente approccio per risolvere una formula arbitraria CNF dovrebbe essere significativo: trovare una cessione parziale st formula residua è in , e quindi applicare l'algoritmo di tempo polinomiale per le formule in a . Pertanto vorrei altre risposte oltre ai vincoli completamente diversi dalla risposta attualmente accettata, poiché penso che sia raro che una formula arbitraria diventerà un vincolo completamente diverso dopo aver applicato una restrizione.$F$$\alpha$$F\alpha$$C$$C$$F\alpha$

Sembra che tu sia interessato a vincoli completamente diversi (e la tua ultima frase è sulla buona strada). Questi sono esempi non banali del principio del buco del piccione, in cui il numero di piccioni non è necessariamente maggiore del numero di buchi, e inoltre alcuni piccioni possono essere esclusi da alcuni dei buchi.

Vincoli diversi possono essere decisi abbinando in tempi polinomiali di basso ordine.

• Jean-Charles Régin, Un algoritmo di filtraggio per vincoli di differenza nei CSP , AAAI 1994, 362–367.
• DE Knuth e A. Raghunathan, Il problema dei rappresentanti compatibili , SIAM J. Discrete Math. 5 422–427, 1992. doi: 10.1137 / 0405033

Quando vengono espressi vincoli completamente diversi (utilizzando una delle numerose codifiche) come istanze SAT, l'apprendimento delle clausole guidato da conflitti di solito trova rapidamente una soluzione se esiste. Tuttavia, la pura risoluzione per il PHP deve creare una serie di clausole superpolinomialmente ampia per dimostrare che l'istanza non è soddisfacente. Questo limite vale chiaramente per questo problema più generale. D'altra parte, ricorda che la codifica di PHP di Cook consente confutazioni di risoluzione estesa di dimensioni polinomiali .

• SA Cook, una breve dimostrazione del principio del buco del piccione con risoluzione estesa , SIGACT News 8 28–32, 1976. doi: 10.1145 / 1008335.1008338

Un lavoro recente in tal senso è il capitolo 5 della tesi di Sergi Oliva , che ha costituito la base di un documento con Alberto Atserias al CCC 2013.

Mi aspetto che tu sia a conoscenza del classico risultato di Cook, quindi forse intendevi limitare la potenza del sistema di prova nella tua terza condizione?

Non sono sicuro del motivo per cui si richiederebbero anche le formule sat ma ci sono alcuni articoli sulla separazione tra risoluzione generale e albero, ad esempio [1]. Mi sembra che sia questo ciò che vuoi.

[1] Ben-Sasson, Eli, Russell Impagliazzo e Avi Wigderson. "Separazione quasi ottimale della risoluzione simile ad un albero e generale." Combinatorica 24.4 (2004): 585-603.

Potresti essere interessato a formule SAT con "larghezza di banda" piccola (logaritmica) o "larghezza dell'albero". Queste formule sono ricorsivamente partizionabili in modo tale che il confine di comunicazione tra le partizioni sia piccolo, e quindi un approccio di programmazione dinamica enumerativa può essere usato per risolverle. L'argomento era popolare negli anni novanta. Una volta ho contato esattamente il numero di cicli hamiltoniani in un piccolo grafico della larghezza degli alberi di 24.000 vertici, quindi anche i problemi #P con la larghezza degli alberi piccoli sono risolvibili. Bodlaender è un riferimento importante.

questo documento che segue sembra vicino a ciò che è richiesto in qualche modo (se non si adatta forse JJ può chiarire il perché). la domanda vuole escludere le istanze di PHP (pigeonhole) basate sulla mancanza di entrambe le formule vero / falso, ma (come citato nelle altre risposte) PHP è uno dei casi più generati / generatori di istanze dal lato della teoria e ha è sempre stato un generatore di formule soddisfacenti / insoddisfacenti sebbene le formule soddisfacenti siano meno enfatizzate / studiate.

PHP dove ci sono "piccioni" e "buchi" è insoddisfacente (falso) se e soddisfacente se . non ho immediatamente familiarità con i documenti che studiano entrambi i casi, ma pensano che esistano (ne vorrei sapere). e alcuni risultati / analisi che studiano solo i casi insoddisfacenti sono naturalmente estesi per includere il caso soddisfacente. mnm>nm≤${^m_n}$$m$$n$$m>n$$m \leq n$

• La risoluzione simile a un albero è superpolinomialmente più lenta della risoluzione simile a un DAG per il principio Pigeonhole (1999) di Kazuo Iwama, Shuichi Miyazaki

un altro approccio sarebbe quello di andare in un angolo più empirico e generare semplicemente casi casuali (presumibilmente attorno al punto di transizione soddisfacente del 50% facile-difficile-facile) e filtrarli per adattarli ai criteri dichiarati. uno richiederebbe implementazioni di risoluzione ad albero / risoluzione DAG o "sistemi più forti".