Complessità parametrizzata di Hitting Set in dimensione VC finita

Sono interessato alla complessità parametrizzata di quello che chiamerò il problema del Set di Colpi d-dimensionale: dato uno spazio (cioè un sistema / ipergrafo) S = (X, R) avente dimensione VC al massimo d e a intero positivo k, X contiene un sottoinsieme di dimensione k che colpisce ogni intervallo in R? La versione parametrizzata del problema è parametrizzata da k.

Per quali valori di d è il problema d-Dimensional Hitting Set

• in FPT?
• in W [1]?
• W [1] -Hard?
• W [2] -Hard?

Quello che so può essere riassunto come segue:

• Il set di colpi 1-dimensionale è in P ed è quindi in FPT. Se S ha dimensione 1, non è difficile dimostrare che esiste un gruppo di risposta di dimensione 2 o che la matrice di incidenza di S è totalmente bilanciata. In entrambi i casi possiamo trovare un set minimo di colpi in tempo polinomiale.

• Il set di colpi a 4 dimensioni è W [1] -hard. Dom, Fellows e Rosamond [PDF] hanno dimostrato W [1] -hardness per il problema di pugnalare rettangoli asse-parallelo in R ^ 2 con linee asse-parallelo. Questo può essere formulato come Set di Colpire in uno spazio della VC-dimensione 4.

• Se non viene applicata alcuna restrizione su d, allora abbiamo il problema del set di colpi standard che è W [2] completo e NP-completo.

• Langerman e Morin [citeseer link] forniscono algoritmi FPT per Set Cover in dimensione limitata, sebbene il loro modello di dimensionalità limitata non sia lo stesso del modello definito da dimensione VC limitata. Il loro modello non sembra includere, ad esempio, il problema di colpire semispazi con punti, sebbene il problema del prototipo per il loro modello sia equivalente a colpire iperpiani con punti.

Penso che questo problema sia troppo difficile. Non conosciamo la risposta a problemi molto più facili in questa famiglia. Ad esempio, dato un set di n punti nel piano e un set di (diciamo n) dischi unità, decidi se esiste una copertura dei punti per k dei dischi unità. Esiste un semplice algoritmo di tempo n ^ O (k) per questo, e non sarei sorpreso se usando intuizioni conosciute si può fare n ^ O (sqrt {k}) (ma anche questo non è ovvio), ma facendo f ( k) * n ^ {O (1)} è aperto e in effetti sarebbe piuttosto interessante. Un'approssimazione (1 + eps) segue dal lavoro di Mustafa e Ray http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367 .

A proposito, per la versione continua in cui è consentito qualsiasi disco di unità, è possibile risolvere il problema in n ^ {O (k)} tempo. Un PTAS in questo caso è anche abbastanza facile usando le griglie spostate.

Affrontiamo questa domanda in una nuova prestampa: http://arxiv.org/abs/1512.00481

Colpire Set in ipergrafi di bassa dimensione VC (Karl Bringmann, László Kozma, Shay Moran, NS Narayanaswamy).

Si scopre che Hitting Set è W [1] -hard già quando la dimensione VC è uguale a 2.

L'articolo Dániel Marx: schemi di approssimazione efficienti per problemi geometrici ? SEC 2005: 448-459 è abbastanza rilevante.