Algoritmo efficiente per l'esistenza di permutazione con sequenza di differenze?

Questa domanda è motivata da questo post, riesci a identificare la somma di due permutazioni nel tempo polinomiale? e il mio interesse per le proprietà computazionali delle permutazioni.

Una sequenza di differenze di una permutazione π di numeri 1 , 2 , ... n + 1 si forma trovando la differenza tra ogni due numeri adiacenti nella permutazione π . In altre parole, a i = | π ( i + 1 ) - π ( i ) | per 1 ≤ i ≤ $a_1, a_2, \ldots a_n$$\pi$$1, 2, \ldots n+1$$\pi$$a_i= |\pi(i+1)-\pi(i)|$$1 \le i \le n$

Ad esempio, la sequenza è la sequenza delle differenze di permutazione 2 3 4 1 . Mentre le sequenze 2 , 2 , 3 e 3 , 1 , 2 non sono la sequenza delle differenze di alcuna permutazione dei numeri 1 , 2 , 3 , 4 .$1, 1, 3$$2 3 4 1$$2, 2, 3$$3, 1, 2$$1, 2, 3, 4$

Esiste un algoritmo efficiente per determinare se una determinata sequenza è la sequenza delle differenze per alcune permutazioni o è NP-difficile?$\pi$

EDIT : otteniamo un problema computazionalmente equivalente se formuliamo il problema usando permutazioni circolari.

EDIT2 : Cross pubblicato su MathOverflow, Quanto è difficile ricostruire una permutazione dalla sua sequenza di differenze?

EDIT3 Premiato con il premio per lo schizzo di prova e accetterei la risposta dopo aver ottenuto la prova formale completa.

EDIT 4 : la bella prova di completezza di di Marzio è stata pubblicata sull'Electronic Journal of Combinatorics .$NP$

Questo è uno schizzo di una possibile riduzione per dimostrare che è NP-difficile:

$a_i$$...11111...$

$2$$1112112111$

 a_i seq.:     1 1 1  2  1 1  2   1  1  1  forces
 permutation: 1 2 3 4 _ 6 7 8 _ 10 11 12 13 (or its decreasing equivalent)
 (from 4 you cannot go back to 2,
 from 8 you cannot go back to 6)

I fori devono essere riempiti nel resto della permutazione.

3) usando un 1SEQ abbastanza grande, seguito da un 1SEQ con alcuni buchi, seguito da un altro 1SEQ di grandi dimensioni è possibile costruire una linea forzata ;

4) mettendo insieme molte linee forzate è possibile costruire un grafico a griglia di permutazione in cui i nodi corrispondono ai numeri mancanti nella permutazione forzata sottostante.

Ad esempio la sequenza 1111111112111111111112111111111, forza il seguente grafico a griglia di permutazione 5x7:

29 30 31 32 33 34 35
22 23 24    26 27 28
15 16 17 18 19 20 21
 8  9 10    12 13 14   
 1  2  3  4  5  6  7

$w \times w$$a,b$$|a-b|=kw$

$G$

$G$$G$

7) è possibile riempire tutti i fori (ovvero completare la permutazione) se e solo se il grafico della griglia originale ha un ciclo hamiltoniano

EDIT: 27 luglio 2013

Ho cercato di dimostrare formalmente la completezza NP del problema: ho introdotto un nuovo problema (problema Crazy Frog ) che è NPC. Il problema della ricostruzione della permutazione dalle differenze equivale al "problema della rana pazza 1-D senza cellule bloccate" (che è anche NPC).

Per i dettagli della riduzione, vedi la mia domanda / risposta su "Due varianti del percorso hamiltoniano" o scarica una bozza della prova "Quando una rana incontra una permutazione" :)) (Sto ancora controllando / completandola)