(N) DFA con lo stesso stato iniziale / accettante

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Cosa si sa della classe di lingue riconosciute dagli automi finiti che hanno lo stesso stato iniziale e accettante? Questo è un sottoinsieme proprio delle lingue normali (poiché ogni lingua del genere contiene la stringa vuota), ma quanto è debole? Esiste una semplice caratterizzazione algebrica?

Idem per le lingue riconosciute da automi non deterministici con lo stesso insieme di stati iniziali e accettanti.

— Noam Zeilberger
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Supponendo che intendi che lo stato iniziale deve essere lo stato accettante univoco, gli automi finiti che hanno questa struttura corrispondono ai linguaggi delle espressioni regolari della forma

, dove

è un'espressione regolare.

r^{*}

$r^*$

r

$r$

— Huck Bennett,

Ah certo. Grazie! Se desideri pubblicare questo commento come risposta, lo accetterò e chiuderò la domanda.

— Noam Zeilberger,

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Questa domanda è risolta per gli automi deterministici e per gli automi non ambigui nel libro [1]

[1] J. Berstel, D. Perrin, C, Reutenauer, Codici e automi, vol. 129 dell'Enciclopedia della matematica e delle sue applicazioni, Cambridge University Press, 2009.

Nel caso di automi deterministici, la caratterizzazione è data nella Proposizione 3.2.5. Ricordiamo che un submonoid di è unitaria giusto se, per ogni , implica . $M$ $A^*$ $u, v \in M$ $u, uv \in M$ $v \in M$

Proposta . Sia un sottoinsieme regolare di . Le seguenti condizioni sono equivalenti: $L$ $A^*$

è un sottomonoide unitario giusto, $L$

per alcuni prefissi , $L = P^*$ $P$

L'automa minimo di ha uno stato finale unico, vale a dire lo stato iniziale. $L$

Esiste un automa deterministico che riconosce avendo lo stato iniziale come stato finale unico. $L$

Per automi non ambigui, la caratterizzazione segue dal Teorema 4.2.2 e può essere dichiarata come segue:

Proposta . Sia un sottoinsieme regolare di . Le seguenti condizioni sono equivalenti: $L$ $A^*$

è un submonoide gratuito di , $L$ $A^*$

per un codice , $L = C^*$ $C$

Esiste un automa inequivocabile che riconosce che ha lo stato iniziale come stato finale unico. $L$

Infine, per gli automi non deterministici, la caratterizzazione è semplicemente che è un sottomonoide di . $L$ $A^*$

— J.-E. perno
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1

Potrebbe valere la pena esaminare la decomposizione monomiale del prefisso unitario di Eilenberg delle lingue regolari (razionali nella sua terminologia). Non ho una copia del libro con me, ma è da qualche parte all'interno delle sezioni precedenti di Automi, Lingue e macchine, Volume A (1974).

— gdmclellan,

1

@gdmclellan Hai perfettamente ragione. Il riferimento preciso è Cap. IV, proposta 3.2.

— J.-E.

In entrambe le proposizioni, possiamo aggiungere che

e

sono regolari? Vale a dire

per alcuni prefissi

dove

potrebbe essere scelto come regolare?

P

$P$

C

$C$

L = P^{*}

$L = P^*$

P

$P$

P

$P$

— StefanH,

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Gli automi finiti in cui lo stato iniziale è anche lo stato di accettazione univoco hanno la forma , dove è un'espressione regolare. Tuttavia, come J.-E. Pin indica di seguito, il contrario non è vero: ci sono lingue del modulo che non sono accettate da un DFA con uno stato di accettazione univoco. $r^∗$ $r$ $r^*$

Intuitivamente, data una sequenza di stati tale che o o il diagramma di stato sottostante deve avere un ciclo che coinvolge . Quest'ultimo caso viene catturato algebricamente dalla stella Kleene. $q_0, \ldots, q_n$ $q_0 = q_n$ $n = 0$ $q_0$

— Huck Bennett
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Le lingue accettate da un automa in cui lo stato iniziale è anche lo stato di accettazione unico sono certamente della forma

. Tuttavia, questa condizione non caratterizza le lingue accettate da tale DFA. Ad esempio, qualsiasi DFA che accetta la lingua

ha almeno 2 stati finali.

r^{*}

$r^*$

(a, a b)^{*}

$(a, ab)^*$

— J.-E.

2

Penso che la caratterizzazione corretta sia:

è accettata da un DFA minimo il cui stato iniziale è l'unico stato accettato, se e solo se

è nella forma

dove

è privo di prefisso . Ricordo di averlo trovato in una tesi di dottorato di ricerca degli anni '70, ma non riesco a trovare il riferimento. Comunque, non è difficile dimostrarlo.

L

$L$

L

$L$

α^{*}

$\alpha^*$

α

$\alpha$

— mikero,

@ J.-E.Pin: Sì, grazie, ho aggiornato la mia risposta.

— Huck Bennett,

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Una sottoclasse importante di questa famiglia è una sottoclasse di lingue reversibili a 0. Una lingua è reversibile a 0 se anche l'inversione del DFA minimo per la lingua è deterministica. L'operazione di inversione è definita come scambio di stati iniziale e finale e inversione della relazione limite del DFA. Ciò significa che una lingua reversibile a 0 può avere solo uno stato accettante. La tua domanda sta aggiungendo un'ulteriore limitazione che questo stato dovrebbe essere lo stato iniziale. La tua restrizione non definisce le lingue reversibili a 0 perché un DFA minimo per tali lingue può avere stati iniziali e finali distinti.

La classe delle lingue reversibili è interessante perché era una delle prime famiglie di lingue con infinitamente molte stringhe che era possibile apprendere solo da esempi positivi. Il documento di Angluin fornisce anche una caratterizzazione algebrica.

Inference of Reversible Languages , Dana Angluin, Journal of the ACM, 1982

— Vijay D
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Puoi fare riferimento agli automi Semi-fiore, come dice la loro carta: "Un automa semi-fiore (SFA) è un automa di assetto con uno stato iniziale unico che è uguale a uno stato finale univoco in cui tutti i cicli devono passare attraverso il stato iniziale iniziale ". Fare riferimento a "LA DECOMPOSIZIONE DELL'OLONOMIA DELL'AUTOMATA SEMI-FIORE CIRCOLARE" -Shubh Narayan Singh, KV Krishna.

— Viresh
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