Ordine topologico positivo, prendere 3

Supponiamo di avere una matrice n per n. È possibile riordinare le sue righe e colonne in modo da ottenere una matrice triangolare superiore?

Questa domanda è motivata da questo problema: ordinamento topologico positivo

Il problema decisionale originale è difficile almeno quanto questo, quindi un risultato di completezza NP risolverebbe anche quello.

Modifica: Laszlo Vegh e Andras Frank hanno richiamato la mia attenzione su un problema equivalente chiesto da Gunter Rote: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

Modifica: la riduzione al problema originale è la seguente. Supponiamo che il DAG abbia solo due livelli, questi corrisponderanno alle righe e alle colonne della matrice. Inoltre, abbiamo un singolo nodo con peso +1. Tutti gli altri nel livello inferiore hanno un peso -1 e nel livello superiore +1.

Il problema si è rivelato essere NP-completo. Puoi leggere più in dettaglio qui e qui . Breve riassunto:

La riduzione è dovuta a un problema dimostrato da NP completo da Dasgupta, Jiang, Kannan, Li e Sweedyk: dato un grafico bipartito G e un intero k, decidere se G ha un sottografo indotto su nodi 2k che può essere esteso a essere unicamente abbinabile. Stéphane Vialette ha osservato che ciò riduce alla versione bipartita di corrispondenza univoca di questo problema se aggiungiamo nodi isolati nk ad entrambe le classi.

Attenzione: questa è una risposta parziale basata su congetture e sentito dire! Mentre il problema più generale di David Eppstein è NP-completo, forse questo è in P.

$(A \cup B, E)$$|A|=|B|=n$

• non deve contenere 2 abbinamenti perfetti,
• $\le (1, 2, ..., n)$

Finora, non sono stato in grado di trovare alcun esempio in cui un grafico soddisfi queste condizioni, ma non riesco a essere UPMX. In tal caso, forse sono sufficienti. Si potrebbe provare questo con il seguente algoritmo:

1. se il grafico ha> 1 corrispondenze perfette, restituisce "non UPMX"
2. se il grafico non soddisfa la condizione del grado, restituisce "non UPMX"
3. se il grafico ha = 1 corrispondenza perfetta, restituisce "UPMX"
4. altrimenti, forse possiamo dimostrare che è UPMX. Forse il seguente algoritmo potrebbe dimostrarlo:
   • $\le \tbinom{n+1}{2} - 2$
   • trovare un nuovo bordo e la cui aggiunta non crea una corrispondenza perfetta e non viola la condizione di laurea; aggiungi e al grafico
5. $\tbinom{n+1}{2} - 1$

Puoi caratterizzare quali nuovi bordi creerebbero una corrispondenza perfetta usando il teorema di Hall, e non è difficile caratterizzare quali nuovi bordi violerebbero il limite dei gradi. Sfortunatamente, anche se è vero che esiste sempre un margine del giusto tipo, non sono stato in grado di dimostrarlo.

Questo documento, Ottenere una matrice triangolare da permutazioni di riga-colonna indipendenti Fertin, Rusu e Vialette, mostra che il problema è NP-completo per le matrici quadrate binarie.

Il problema è NP-completo ma dov'è l'algoritmo per risolverlo? Ho un algoritmo che funziona su molti esempi, ma non posso dimostrare che funzionerà sempre.