Ordine topologico positivo, prendere 3


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Supponiamo di avere una matrice n per n. È possibile riordinare le sue righe e colonne in modo da ottenere una matrice triangolare superiore?

Questa domanda è motivata da questo problema: ordinamento topologico positivo

Il problema decisionale originale è difficile almeno quanto questo, quindi un risultato di completezza NP risolverebbe anche quello.

Modifica: Laszlo Vegh e Andras Frank hanno richiamato la mia attenzione su un problema equivalente chiesto da Gunter Rote: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

Modifica: la riduzione al problema originale è la seguente. Supponiamo che il DAG abbia solo due livelli, questi corrisponderanno alle righe e alle colonne della matrice. Inoltre, abbiamo un singolo nodo con peso +1. Tutti gli altri nel livello inferiore hanno un peso -1 e nel livello superiore +1.


Come riduci questo al problema originale? A proposito, questo problema sembra interessante in sé.
Tsuyoshi Ito,

Stai cercando una permutazione da applicare sia alle righe che alle colonne o due permutazioni separate? Ne sto indovinando due, poiché con uno solo il problema sembra equivalente all'ordinamento topologico.
Warren Schudy,

Considerandolo come un grafico bipartito (come nel collegamento elte), danno la condizione necessaria che non abbia alcun sottografo fatto di copie di K2, C4, C6, C8, ecc. Un'altra condizione necessaria è che la sequenza dei gradi di entrambi parti è dominata da (1, 2, 3, ..., n) --- Penso che questo sia più forte dell'altra condizione basata sulla cricca nel collegamento.
daveagp,

Risposte:


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Il problema si è rivelato essere NP-completo. Puoi leggere più in dettaglio qui e qui . Breve riassunto:

La riduzione è dovuta a un problema dimostrato da NP completo da Dasgupta, Jiang, Kannan, Li e Sweedyk: dato un grafico bipartito G e un intero k, decidere se G ha un sottografo indotto su nodi 2k che può essere esteso a essere unicamente abbinabile. Stéphane Vialette ha osservato che ciò riduce alla versione bipartita di corrispondenza univoca di questo problema se aggiungiamo nodi isolati nk ad entrambe le classi.


Grazie per il link a EGRES. Mi piacciono molto i problemi aperti, specialmente quelli relativi alla corrispondenza (perfetta).
Mohammad Al-Turkistany,

Quali sono gli altri siti di problemi aperti di qualità (relativi alla complessità computazionale)?
Mohammad Al-Turkistany,

@turkistany, non ne conosco altri, penso che ciò riguardi anche la ricerca operativa / la teoria dei grafi.
domotorp,

3

Attenzione: questa è una risposta parziale basata su congetture e sentito dire! Mentre il problema più generale di David Eppstein è NP-completo, forse questo è in P.

(UNB,E)|UN|=|B|=n

  • non deve contenere 2 abbinamenti perfetti,
  • (1,2,...,n)

Finora, non sono stato in grado di trovare alcun esempio in cui un grafico soddisfi queste condizioni, ma non riesco a essere UPMX. In tal caso, forse sono sufficienti. Si potrebbe provare questo con il seguente algoritmo:

  1. se il grafico ha> 1 corrispondenze perfette, restituisce "non UPMX"
  2. se il grafico non soddisfa la condizione del grado, restituisce "non UPMX"
  3. se il grafico ha = 1 corrispondenza perfetta, restituisce "UPMX"
  4. altrimenti, forse possiamo dimostrare che è UPMX. Forse il seguente algoritmo potrebbe dimostrarlo:
    • (n+12)-2
    • trovare un nuovo bordo e la cui aggiunta non crea una corrispondenza perfetta e non viola la condizione di laurea; aggiungi e al grafico
  5. (n+12)-1

Puoi caratterizzare quali nuovi bordi creerebbero una corrispondenza perfetta usando il teorema di Hall, e non è difficile caratterizzare quali nuovi bordi violerebbero il limite dei gradi. Sfortunatamente, anche se è vero che esiste sempre un margine del giusto tipo, non sono stato in grado di dimostrarlo.


Non è un cattivo approccio, mi chiedo se sia vero.
domotorp,

3

Questo documento, Ottenere una matrice triangolare da permutazioni di riga-colonna indipendenti Fertin, Rusu e Vialette, mostra che il problema è NP-completo per le matrici quadrate binarie.


È un peccato che abbiano dimostrato lo stesso risultato indipendentemente da noi, immagino che avremmo dovuto comunicare meglio. Comunque, li invierò per email.
domotorp,

@domotorp Lo stesso problema è stato posto su MathOverflow e la migliore risposta è stata che si trova in "NP-limbo". mathoverflow.net/questions/191963/…
Mohammad Al-Turkistany

-1

Il problema è NP-completo ma dov'è l'algoritmo per risolverlo? Ho un algoritmo che funziona su molti esempi, ma non posso dimostrare che funzionerà sempre.


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Puoi caratterizzare un'interessante classe di grafici su cui il tuo algoritmo è corretto?
RB
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