La RNC uniforme è contenuta nello spazio poliflog?

La NC uniforme nello spazio log è contenuta nello spazio polivalente deterministico (talvolta scritto PolyL). RNC è uniforme nello spazio di registro anche in questa classe? La versione randomizzata standard di PolyL dovrebbe essere in PolyL, ma non vedo che RNC (uniforme) sia in PolyL randomizzato.

La difficoltà che vedo è che in RNC, il circuito può "guardare i bit casuali" quanto vuole; cioè, gli ingressi casuali possono avere un fanout arbitrario. Ma nella versione randomizzata di PolyL, non è come avere un nastro di bit casuali che puoi guardare quanto vuoi; piuttosto, ti è permesso lanciare una moneta solo ad ogni passo.

Grazie!

Forse la maggior parte delle persone pensa che R N C ⊆ D S P A C E ( p o l y l o g ) (o anche che R N C = N C ), ma sono scettico al riguardo (vedi la seconda parte del mio risposta, sotto). Se R N C è effettivamente contenuto in D S P A C E ( p o l y l o g ) , allora è anche contenuto in $\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{DSPACE(polylog)}$$\mathsf{RNC}=\mathsf{NC}$$\mathsf{RNC}$$\mathsf{DSPACE(polylog)}$T I M E ( 2 p o l y l o g ) (più specificamente, è in D T I M E ( 2 p o l y l o g ) mediante una ricerca esaustiva).$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{DTIME(2^{polylog})}$

Valentino Kabanets mi spiega seguente (folklore) argomento dalla sua carta con Russell Impagliazzo che spiega perché R N C ⊆ N T I M E ( 2 p o l y l o g ) è improbabile.$\mathsf{RNC} \subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

Teorema: Se R N C ⊆ N T I M E ( 2 p o l y l o g ) , allora N E X P non è calcolabile da circuiti booleani di dimensione o ( 2 n / n ) (cioè sub-max Shannon; irrilevante ma vedi Lupanov per la tenuta), o Permanente non è calcolabile con formule aritmetiche (senza divisione) su Z di dimensioni quasipolinomiali.$\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{NEXP}$$o(2^n/n)$${\mathbb Z}$

Prova: assumere R N C ⊆ N T I M E ( 2 p o l y l o g ) . Se Permanent ha una formula di dimensione quasipolinomiale, allora possiamo ipotizzare e verificare tale formula per Permanent usando un tester di identità polinomiale del tempo quasipolynomial per ipotesi. Questo pone Permanent in N T I M E ( 2 p o l y l o g ) .$\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

Secondo il teorema di Toda, Σ 2 è quindi anche in N T I M E ( 2 p o l y l o g ) . Ad impregnazione, la versione tempo lineare-esponenziale della Σ 5 è anche in N E X P . Quindi la versione lineare-esponenziale di Σ 5 ha un circuito di dimensione o ( 2 n / n ) (cioè sottomassimale). Ma, con un semplice argomento di diagonalizzazione, si può dimostrare che la versione lineare-esponenziale di Σ $\Sigma_2$$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\Sigma_5$$\mathsf{NEXP}$$\Sigma_5$$o(2^n/n)$$\Sigma_5$richiede una dimensione massima del circuito, il che è una contraddizione (a proposito, questa è una variante di una domanda di livello medio per un corso di complessità a livello di laurea; va bene, forse prova che E X P S P A C E richiede circuiti di dimensione massima è più semplice). QED.$\mathsf{EXPSPACE}$

Ora la direzione impopolare.

Sappiamo già che la casualità letta molte volte può fare qualcosa di non ovvio. Un esempio interessante può essere trovato in " Rendere il non determinismo inequivocabile " di Reinhardt e Allender (lo dichiarano in termini di non uniformità, ma in linea di principio si tratta di usare la casualità letta molte volte). Un altro esempio interessante (meno direttamente correlato) è "La casualità acquista profondità per il conteggio approssimativo " di Emanuele Viola. Immagino che tutto ciò che sto dicendo sia che non sarei sorpreso se la derandomizzazione di R N C non fosse quella che la maggior parte delle persone si aspetterebbe.$\mathsf{RNC}$

(Ci sono anche un paio di altri articoli, come il meraviglioso articolo di Noam Nisan sulla casualità read-once vs. read-many, che mostrano come acquistare un errore fronte-retro con un errore unilaterale).

A proposito, capire come costruire PRG ingannando modelli di calcolo limitati dallo spazio con accessi multipli al loro input (ad es. Lunghezze lineari Bps) è anche molto correlato a questa domanda.

- Periklis