Motivazione per la stima del volume

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Quali sono alcune applicazioni concrete e convincenti per stimare il volume di poliedri convessi del tipo considerato negli articoli più recenti sui metodi di camminata casuale?

Questi articoli sulla stima del volume menzionano l'integrazione numerica come una motivazione. Quali sono esempi di integrali che le persone vogliono calcolare in pratica che sono molto difficili da calcolare usando metodi precedenti? O c'è qualche altra applicazione pratica convincente per calcolare il volume di un politopo 1000-dimensionale?

cg.comp-geom na.numerical-analysis markov-chains

Mi chiedo se otterrai più risposte del tipo che stai cercando su physics.stackexchange.com ... Inoltre, per quelli di noi che non hanno familiarità con questa particolare sottoarea della teoria, potresti forse includere alcuni riferimenti per "lavori più recenti sui metodi di camminata casuali"?

— Joshua Grochow il

più pensare a questo dopo aver risposto e frugando in giro. alcuni articoli sembrano sottolineare, o andare nella direzione, che calcolare il volume del politopo è qualcosa di simile a un problema fondamentale nella teoria della complessità. ciò non sorprende, dato che il calcolo del determinante è un altro problema chiave nella teoria della complessità e il determinante è il volume di un parallelepipedo. quindi una risposta ragionevole sembra essere che sembrano esserci connessioni profonde o naturali nella teoria della complessità. ulteriori prove di questo sarebbero un legame con una specifica classe di complessità ... potrebbe scavare di più su questo ....

— vzn

vedi anche mathoverflow, algoritmo per trovare volume di polytope complesso . Sì, questa domanda precedente richiede applicazioni, non algoritmi, ma alcuni dei documenti sugli algoritmi forniranno motivazioni / applicazioni.

— vzn,

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Stimare il volume di un politopo convesso e l'attività strettamente correlata di campionamento da esso ha applicazioni nel rilascio di dati privati.

All'incirca, il problema che vuoi risolvere è: data una raccolta di query a valori numerici su un database, trova risposte a quelle domande il più vicino possibile alle risposte reali, soddisfacendo al contempo la privacy differenziale. In una serie di parametri, l'algoritmo ottimale per risolvere questo problema ha una descrizione geometrica e la sua implementazione comporta il campionamento da un politopo convesso. Vedi qui: http://arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

— Aaron Roth
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$s$ $s$

Nella sicurezza informatica, il lavoro sul flusso di informazioni quantitative ha applicato questi metodi per stimare la quantità di informazioni riservate che potrebbero essere trapelate da un determinato programma. Qui costruiamo un poliedro che rappresenta i possibili stati del programma in un determinato punto della sua esecuzione, e quindi vogliamo stimare qualcosa sul numero di possibili stati (questo è legato alla quantità di informazioni rilasciate). Pertanto, a un certo punto dell'analisi, finiscono per provare a contare il numero di punti interi contenuti all'interno del poliedro. Questo ha un odore legato alla stima del volume (per me).

Ecco un primo documento che è rappresentativo:

Rilevamento automatico e quantificazione delle perdite di informazioni . Michael Backes, Boris Kopf, Andrey Rybalchenko. Sicurezza e privacy IEEE 2009.

Detto questo, potrebbe non essere esattamente quello che stai cercando. Richiede metodi per contare il numero di punti interi all'interno del poliedro, che non è lo stesso del volume del poliedro. Inoltre, non penso che debbano analizzare poliedri di dimensione 1000 o superiore (anche se non ne sono sicuro).

— DW
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Grazie. Il problema di trovare il numero di soluzioni intere in un insieme di disuguaglianze lineari è # P-completo, penso ( math.ucdavis.edu/~deloera/RECENT_WORK/semesterberichte.pdf ha anche alcune altre applicazioni). Considerando che la stima del volume può essere fatta in poli tempo. Apparentemente puoi usare quest'ultimo per approssimare il primo ma sto davvero cercando applicazioni concrete dirette per la stima del volume.

Anche il calcolo del volume di un polytope è # P-hard. Di per sé, questo fatto dice poco sulle approssimazioni.

— Sasho Nikolov,

P \neq B P P

$P\neq BPP$

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@Turbo Ovviamente non dimostra che P non sia uguale a BPP, perché queste due classi non riguardano un modello di oracolo. Credo che sia aperto l'approssimazione deterministica del volume di un politopo rappresentato da disuguaglianze.

— Sasho Nikolov,

@SashoNikolov Se potessi conoscere questo problema apparentemente semplice sarebbe bello mathoverflow.net/questions/336369/… .

— T ....

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Hari Narayanan ha recentemente pubblicato un articolo su arXiv in cui usa la stima del volume di un politopo convesso per dimostrare alcuni risultati sui coefficienti di Littlewood-Richardson (LR). I coefficienti LR sono alcuni numeri interi nella teoria della rappresentazione che hanno applicazioni nella teoria della complessità geometrica, nella fisica delle particelle e in molti altri campi (vedere l'introduzione del documento sopra per ulteriori riferimenti). Ancora una volta, probabilmente non esattamente quello che volevi, ma comunque una connessione interessante.

— Joshua Grochow
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vedi ad esempio: Stima del volume N-dimensionale di corpi convessi: algoritmi e applicazioni di Sharma, Prasanna, Aswal per un esempio / caso di studio nelle previsioni economiche, ovvero la gestione della catena di approvvigionamento.

I nostri metodi possono essere utilizzati per quantificare il contenuto e l'incertezza delle informazioni, nelle regioni vincolate, in un solido quadro di ottimizzazione. Mostriamo applicazioni nella gestione della catena di approvvigionamento, in condizioni di incertezza futura.

fondamentalmente l'idea è che un polytope possa modellare uno "scenario futuro" di parametri di una configurazione di gestione della catena di approvvigionamento. l' incertezza (o "errore") nel modello / stima è considerata proporzionale al volume del politipo / i. vedere le diapositive 3,4. questo quindi consente:

stima quantitativa dell'incertezza
generazione di informazioni equivalenti
aiuto nell'analisi what-if

— VZN
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Grazie. Questi esempi sono validi, ma trovo ancora difficile credere che siano ciò che si intende quando la gente dice che stimare il volume di un corpo convesso ad alta dimensione è una delle applicazioni più importanti del metodo Markov Chain Monte Carlo.

concordato che l'esempio nelle diapositive è "dimensione del giocattolo" per quanto riguarda il numero di dimensioni, ma forse alcuni problemi di gestione della catena di approvvigionamento hanno in pratica grandi dimensioni. anche questa linea di ricerca sembra suggerirmi che potrebbe avere qualche applicazione in alcune forme di datamining.

— vzn,

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$B_n$ $n$

Polipetti di Birkhoff, chicchi di calore e complessità grafica di Francisco Escolano, Edwin R. Hancock, Miguel A. Lozano, 2008

— VZN
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