Trasformazione Beigel-Tarui di cricuits ACC

Sto leggendo l'appendice sui limiti inferiori dell'ACC per il NEXP nel libro Computational Compity di Arora e Barak . http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf Uno dei lemmi chiave è una trasformazione da circuiti $ACC^{0}$ in polinomi multilineari sugli interi con grado pollogaritmico e coefficienti quasipolinomiali, o equivalentemente , la classe di circuiti , che è la classe di profondità due circuiti con quasipolynomially molti cancelli AND al suo livello inferiore con fan-in pollogaritmico e una porta simmetrica al livello superiore.$SYM^{+}$

Nell'appendice del libro di testo, questa trasformazione ha tre passaggi, supponendo che il set di gate sia composto da OR, mod $2$ , mod $3$ e la costante $1$ . Il primo passo è ridurre il fan-in delle porte OR in ordine pollogaritmico.

Utilizzando il Valiant-Vazirani Isolation Lemma, gli autori ottenere che in una porta OR oltre ingressi del modulo O R ( x 1 , . . . , X 2 k ) , se prendiamo sia una funzione hash indipendente coppie , da a , quindi per qualsiasi diverso zero , con probabilità almeno conterrà che .$2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$[ 2 k ] { 0 , 1 } x ∈ { 0 , 1 } 2 k 1 / ( 10 k ) Σ i : h ( i ) = 1 x i mod $h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

Non è la probabilità di di almeno 1 / 2 ? Sembra che 1 / 10 k è un debole limite inferiore.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

Il secondo passo è passare alle porte aritmetiche e spingere verso il basso le moltiplicazioni. In questo passaggio, trasformeremo i circuiti booleani con una determinata stringa di input binario in un circuito aritmetico con un input intero.

Qui si nota che è sostituito con 1 - x 1 x 2 ⋯ x k e M O D p ( x 1 , . . . , X k ) è sostituito con ( Σ i = 1 , . . . , k x i ) p $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ usando il piccolo teorema di Fermat.$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

Perché questa sostituzione fornisce un circuito equivalente ?$SYM^{+}$

La probabilità di almeno 1/2? Sembra che 1 / ( 10 k ) sia un limite inferiore debole.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

In effetti la risposta è no. (Sarebbe che vale con probabilità di almeno 1 / 2 - ε , se stavamo lavorando con un ε -biased famiglia hash, e anzi utilizzando ε hash -biased Le funzioni offrono un modo per migliorare i parametri della costruzione. Ma l'indipendenza a coppie non è necessariamente basata su ε .)$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

Sembra che qui manchino un ulteriore passaggio. Per applicare direttamente Valiant-Vazirani, dovresti anche scegliere casualmente l'intervallo della funzione hash. Invece di scegliere casuale casuale indipendente dalla coppia : [ 2 k ] → { 0 , 1 } , sembra che dovresti scegliere casuale ℓ ∈ { 2 , … , k + 1 } e quindi scegliere casuale casuale indipendente dalla coppia h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$. (Qui sto deliberatamente usando l'affermazione di Valiant-Vazirani di Arora-Barak, trovata a pagina 354.) Sia il numero di x i = 1 . Valiant-Vazirani dice che quando hai scelto ℓ tale che 2 ℓ - 2 ≤ s ≤ 2 ℓ - 1 , allora la probabilità che Σ i : h ( i ) = 1 x i = 1 (rispetto agli interi!) È almeno 1 / 8 .$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

Quindi selezionando random e random random a coppie indipendenti h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } ℓ , allora hai probabilità almeno 1 / ( 8 k ) che Σ i : h ( i ) = 1 x i mod  2 = 1 . Per simulare la scelta casuale di ℓ nel circuito, puoi semplicemente prendere la O R su tutto il possibile $\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$(il loro numero è logaritmica in , dopo tutto), quindi la probabilità di successo diventa almeno 1 / 8 nuovamente. Quindi invece di avere funzioni hash O ( k log s ) con intervallo { 0 , 1 } , vorrai O ( k ) diversi set di funzioni hash (ogni set con un intervallo diverso), con funzioni hash O ( log s ) in ogni set.$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$

Perché questa sostituzione fornisce un circuito SYM + equivalente?

Un circuito SYM di AND (cioè SYM +) di dimensione equivale essenzialmente ad avere un polinomio multivariato h : { 0 , 1 } n → { 0 , … , K } con al massimo K monomi, una tabella di ricerca g : { 0 , ... , K } → { 0 , 1 } e calcolo g ( h ( x 1 , ... , x n$K$$h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$$K$$g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$ . (Ad esempio, una prova può essere trovata in Beigel-Tarui.) L'intuizione è che ogni monomiale in f è una porta AND, e g è la porta SYM. Dico "essenzialmente equivalente" perché il polinomio multilinea h potrebbe anche avere coefficienti negativi per alcuni termini e i coefficienti negativi non sono ovviamente implementabili in SYM di AND. Ma io sostengo (e Beigel e Tarui affermano) che questo non è un problema. Pensaci :)$g(h(x_1,\ldots,x_n))$$f$$g$$h$