Seleziona due numeri che sommano a , usando il tempo di query sub-lineare

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Ecco il problema del vicino più vicino.

Dati i reali (molto grande !), Più il bersaglio reale , trova e cui SUM è il più vicino a . Consentiamo una ragionevole pre-elaborazione / indicizzazione di (fino a ), ma al momento della query (data ), il risultato dovrebbe essere restituito molto velocemente (ad es. tempo). $a_1, \ldots, a_n$ $n$ $p$ $a_i$ $a_j$ $p$ $a_1, \ldots, a_n$ $O(n \log n)$ $p$ $O(\log n)$

(Esempio più semplice: se volessimo solo il SOLO più vicino a , ordineremmo offline, , quindi eseguiremo la ricerca binaria al momento della query, ). $a_i$ $p$ $a_1, \ldots, a_n$ $O(n \log n)$ $O(\log n)$

Soluzioni che non funzionano:

1) Ordina offline, quindi al momento della query, inizia da entrambe le estremità e sposta due puntatori verso l'interno ( http://bit.ly/1eKHHDy ). Non va bene, a causa del tempo di query . $a_1, \ldots, a_n$ $O(n)$

2) Ordina offline, quindi al momento della query, prendi ogni ed esegui la ricerca binaria di un "amico" che lo aiuti a riassumere qualcosa di simile a . Non va bene, a causa del tempo di query . $a_1, \ldots, a_n$ $a_i$ $p$ $O(n \log n)$

3) Ordina tutte le coppie offline, quindi esegui una ricerca binaria. Non buono, a causa della pre-elaborazione . $(a_{1}, \ldots, a_{n})$ $O(n^2)$

Grazie!

ps. Ulteriori generalizzazioni necessarie per la pratica: (1) e devono essere vettori 50-dimensionali, (2) "vicino" per essere la distanza del coseno vettoriale e (3) -best coppie più vicine-quella-somma, non solo 1-migliore. $a_1, \ldots, a_n$ $p$ $k$

ds.algorithms cg.comp-geom ds.data-structures

— Kevin
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Esiste un limite al tempo di pre-elaborazione o alla quantità di spazio che possiamo usare dopo la pre-elaborazione? Se siamo limitati allo spazio , hai qualche motivo per credere che possa essere risolto in, diciamo, tempo? Mi sembra terribilmente improbabile.

O (n)

$O(n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

— DW,

La pre-elaborazione è limitata a O ( log ). Ho aggiornato la dichiarazione del problema.

n

$n$

n

$n$

— Kevin,

Non ho motivo di credere che l'interrogazione possa essere veloce, ma molti risultati utili per i vicini più vicini (kd-alberi, hashing sensibile alla località, ecc.) Mi sembrano contrariamente intuitivi. Una soluzione approssimativa che utilizza l'hash sensibile alla località andrebbe bene per un uso pratico.

— Kevin,

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Questo è quasi certamente impossibile.

Supponiamo di poter risolvere il problema con il tempo di preelaborazione e il tempo di query . Poi c'è un semplice algoritmo per risolvere il problema 3SUM —Dato un insieme di numeri reali, tre elementi si sommano a zero? —In time. tutti i numeri, quindi per ogni numero troviamo il valore di che è il più vicino a ; se corrisponde esattamente a , abbiamo trovato una soluzione al problema 3SUM. $P(n)$ $Q(n)$ $n$ $P(n)+n\cdot Q(n)$ $a_k$ $a_i+a_j$ $-a_k$ $-a_k$

Tuttavia, l'algoritmo più veloce noto per 3SUM viene eseguito nel tempo e questo algoritmo è ampiamente ipotizzato ottimale. Inoltre, esiste un limite inferiore corrispondente a in un modello di calcolo dell'albero delle decisioni limitato ma naturale. Per i set di numeri interi , ci sono un po 'di algoritmi subquadratic-time che "giocare con bit", ma anche nel modello RAM intero, 3sum si congettura di richiedere tempo . $O(n^2)$ $\Omega(n^2)$ $\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$

Quindi, supponendo che la congettura sia corretta, il tuo problema richiede un tempo di preelaborazione (quasi) quadratico o un tempo di query (quasi) lineare.

— Jeffε
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Se durante la pre-elaborazione è possibile utilizzare spazio illimitato e tempo illimitato, la seguente soluzione soddisfa i requisiti:

Durante la pre-elaborazione, calcola il set e archivia questo set in ordine ordinato. Questo set può essere generato e ordinato in tempo e ci vuole spazio per memorizzarlo. $\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$ $O(n^2)$ $O(n^2)$
Ora per rispondere a una query (per trovare dove è il più vicino possibile a ), è sufficiente effettuare una ricerca binaria in questo elenco ordinato. Ci vorrà tempo. $a_i,a_j$ $a_i+a_j$ $p$ $O(\lg n)$

Se questa soluzione non è accettabile, è necessario esaminare più attentamente i requisiti e modificare la domanda di conseguenza.

— DW
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Ciao e grazie! Ma la tua soluzione è la stessa della mia soluzione n. 3, che è problematica a causa del tempo di pre-elaborazione O (n ^ 2). Nel mio caso, n è molto grande (ad es. 1m) e devo evitare le operazioni O (n ^ 2).

— Kevin,