Algoritmi di tempo esponenziale esatto per programmi 0-1 con dati non negativi

Esistono algoritmi noti per il seguente problema che battono l'algoritmo ingenuo?

Input: matrice e vettori , dove tutte le voci di sono numeri interi non negativi.b , c A , b , $A$$b,c$$A,b,c$

Output: una soluzione ottimale da a .$x^*$$\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$

Questa domanda è una versione raffinata della mia precedente domanda Algoritmi di tempo esponenziale esatto per la programmazione 0-1 .

se il numero di coefficienti diversi da zero in $A$ è lineare in $n$ , esiste un algoritmo che risolve questo problema in meno di $2^n$ volta.

Ecco come funziona. Usiamo la connessione standard tra un problema di ottimizzazione e il relativo problema decisionale. Per verificare se esiste una soluzione cui e , formeremo un problema decisionale: aggiungeremo il vincolo alla matrice e testeremo se esiste una tale che e . In particolare, formeremo una nuova matrice prendendo e aggiungendo una riga aggiuntiva contenente , e formeremo prendendoA x ≤ b c T x ≥ α c T x ≥ α A x A x ≤ b - c T x ≤ - α A ′ A - c T b ′ b - α x ∈ { 0 , 1 } n A ′ x ≤ b $x$$Ax\le b$$c^T x \ge \alpha$$c^T x\ge \alpha$$A$$x$$Ax \le b$$-c^T x \le -\alpha$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$e adiacente ad una riga aggiuntiva con . Otteniamo un problema decisionale: esiste tale che ? La risposta a questo problema decisionale ci dice se esiste una soluzione al problema di ottimizzazione originale di valore o superiore. Inoltre, come spiegato nella risposta alla domanda precedente , questo problema decisionale può essere risolto in meno di volta, se il numero di coefficienti diversi da zero in è lineare in (e quindi se il numero di non- i coefficienti zero in è lineare in ). Ora possiamo usare la ricerca binaria su$-\alpha$$x \in \{0,1\}^n$$A' x \le b'$2 n A ′ n A $\alpha$$2^n$$A'$$n$$A$$n$2 $\alpha$per risolvere il problema di ottimizzazione in meno di volta.$2^n$

I miei ringraziamenti ad Austin Buchanan e Stefan Schneider per l'aiuto nel debug di una versione precedente di questa risposta.

Se consideriamo il problema di minimizzazione , la seguente riduzione mostra che un algoritmo in esecuzione nel tempo per confuterebbe SETH. Una riformulazione dimostra lo stesso risultato per il problema previsto (la versione di massimizzazione).O ( 2 δ n / 2 ) δ < $\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$$O(2^{\delta n/2})$$\delta <1$

Data un'istanza di CNF-SAT con variabili , formula un IP 0-1 con due variabili per ogni variabile nell'istanza SAT. Come al solito, la clausola sarebbe rappresentata come . Quindi per ogni variabile nell'istanza SAT, aggiungi un vincolo . L'obiettivo è ridurre al minimo . L'obiettivo dell'IP sarà se l'istanza SAT è soddisfacente. { x j } n j = 1 y j , ¯ y j x j ( x 1 ∨ ¯ x 2 ∨ x 3 ) y 1 + ¯ y 2 + y 3 ≥ 1 x j y j + ¯ y j ≥ 1 ∑ n j $\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$$\{x_j \}_{j=1}^n$$y_j, \overline{y}_j$$x_j$$(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$$y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$$x_j$$y_j + \overline{y}_j \ge 1$$\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$$n$

Grazie a Stefan Schneider per la correzione.

Aggiornamento: in On Problems Hard as CNF-Sat gli autori ipotizzano che SET COVER non possa essere risolto nel tempo , , dove riferisce al numero di set. Se vero, questo mostrerebbe che il mio problema non può essere risolto anche nel tempo .δ < 1 n O ( 2 δ n$O(2^{\delta n})$$\delta <1$$n$$O(2^{\delta n})$

Aggiornamento 2. Per quanto ne so, supponendo SETH, il mio problema non può essere risolto nel tempo , poiché è stato dimostrato che non è possibile colpire Set colpire (con un set di terra di dimensione ) risolto nel tempo .n O ( 2 δ n$O(2^{\delta n})$$n$$O(2^{\delta n})$