Sulla provabilità di P contro NP

Prima di tutto, la mia comprensione del teorema di incompletezza di Gödel (e della logica formale in generale) è molto ingenua, inoltre è la mia conoscenza dell'informatica teorica (il che significa solo un corso di laurea preso mentre sono ancora un laureando), quindi questa domanda potrebbe essere molto ingenuo.

Per quanto ho potuto trovare, la provabilità di P contro NP è un problema aperto.

Adesso:

Il primo teorema di incompletezza di Gödel afferma che potrebbero esserci delle affermazioni vere ma non dimostrabili né smentibili.
Se viene trovata una soluzione polinomiale per un problema NP completo, ciò dimostra che P = NP.

Supponiamo quindi che P = NP non sia dimostrabile:
ciò significa che non è possibile trovare alcun esempio di soluzione polinomiale per un problema NP completo (altrimenti, ciò sarebbe una prova).
Ma se non è possibile trovare un esempio di soluzione polinomiale per un problema NP completo, ciò significa che P = NP è falso (dimostrandolo, significa che l'affermazione è dimostrabile), il che porta a una contraddizione, quindi P = NP dovrebbe essere dimostrabile .

Questo suona come una prova della provabilità di P = NP per me, ma penso che sia estremamente probabile che sia dovuto alla mia mancanza di comprensione degli argomenti logici coinvolti. Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire cosa c'è di sbagliato in questo?

np-hardness proofs p-vs-np

— Alvaro
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Vedi l'articolo di Scott Aaronson "Is P Versus NP Formally Independent?"

— Marzio De Biasi,

Mi sembra che tu abbia una confusione più elementare su come può essere qualcosa di vero ma non dimostrabile. Controlla il tour e il centro assistenza per l'ambito di questo sito. Penso che questo sia più adatto per l' Informatica o la Matematica .

— Kaveh,

questo documento semifama Prove naturali di Razborov / Rudich è applicabile a questa domanda

— vzn

Potresti anche essere interessato alla monografia di Hartmanis "Calcoli fattibili e proprietà della complessità fornibile" che in sostanza discute cosa succede se consideriamo solo problemi che sono dimostrabilmente in P, dimostrabilmente in NP, ecc.

— Joshua Grochow

Risposte:

Se P = NP, ci devono essere algoritmi a tempo polinomiale per problemi NP-completi. Tuttavia, potrebbe non esserci alcun algoritmo che risolva in modo dimostrabile un problema NP-completo e che possa essere eseguito in modo polinomiale.

— David Richerby
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Quindi, quello che stai dicendo, è che il difetto è che potrebbe esserci un esempio di soluzione polinomiale ma potresti non essere in grado di provare che è polinomiale? Perché allora non è considerato nella dimostrazione per esempio, quindi non vedo ancora il difetto.

— Alvaro,

Supponiamo che P = NP ma questo non sia dimostrabile. Ciò significa che esiste un algoritmo temporale polinomiale A per 3-SAT. Se potessi dimostrare che A era un algoritmo poli-tempo per 3-SAT, ciò contraddirebbe l'improvvisazione di P = NP. Pertanto, anche se è vero che A viene eseguito nel tempo polinomiale e vero che A risolve 3-SAT, almeno uno di questi fatti non può essere provato. Per esprimerlo nei termini della domanda, il fatto che un algoritmo poly-time per 3-SAT esiste non implica che uno "può essere trovato".

— David Richerby,

Quindi, "Se non è possibile trovare un esempio di soluzione polinomiale per un problema NP-completo, ciò significa che P = NP è falso" è errato, perché può esserci una soluzione anche se non può essere trovata?

— Alvaro,

È corretto.

— David Richerby,

M

$M$

c

$c$

N

$N$

n \geq N

$n \geq N$

n

$n$

M

$M$

n^{c}

$n^c$

$\neq$

— Tpecatte
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