Difficoltà a comprendere l'algoritmo quantistico per il problema del sottogruppo nascosto abeliano

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Ho difficoltà a comprendere gli ultimi passi dell'algoritmo AHSP. Lasciate sia un gruppo abeliano e essere la funzione che nasconde il sottogruppo . Lasciate rappresentano il duplice gruppo di . $G$ $f$ $H$ $G^*$ $G$

Ecco i passaggi dell'algoritmo

Prima prepara lo stato,

$\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$ .
Quindi applichiamo l'oracolo quantistico che valuta su , otteniamo $f$ $I$

$\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$ .
Ora misuriamo il secondo qubit di , otteniamo $I'$

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

per qualche . $r \in G$
Ora applichiamo la trasformata quantistica di Fourier sul primo qubit, otteniamo

$\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$ ,

dove . $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Ora dallo stato come possiamo ottenere generatori del gruppo ? $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— user774025
fonte

Consiglio vivamente di leggere gli appunti di Andrew Childs su AHSP. Sono disponibili su math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— Robin Kothari

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Questa post-elaborazione classica sfrutta diverse proprietà teoriche di gruppi non banali di gruppi abeliani. Ho scritto una spiegazione didattica di come funziona questo algoritmo classico qui [1] ; altre buone fonti da leggere sono [ 2 , 3 , 4 ].

Quindi, la misurazione alla fine dell'algoritmo nella base standard ti darà elementi di uniformemente a caso. Non è difficile verificare che l'insieme sia un sottogruppo (abeliano finito) del gruppo di caratteri ; a causa, dopo turni di misura un gruppo elettrogeno di è ottenuta con probabilità esponenziale vicino a uno. $H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

La parte più tecnica è come ricostruire dato un gruppo elettrogeno di . Concentriamoci su questo problema da ora in poi. Per questo, avremo bisogno di alcuni rudimenti dalla teoria dei personaggi. $H$ $H^{*}$

Teoria dei personaggi

Prima di tutto, ricorda che, quando è abeliano finito, i personaggi formano un gruppo isomorfo rispetto a e che possono essere scritti come $G$ $G$ L'etichettadel carattereè un elemento di. La mappadefinisce un isomorfismo trae, in modo che possiamo identificare entrambi i gruppi.

χ_{g} (h) = \exp (2 π i \sum_{i = 1}^{m} \frac{g (i) h (i)}{d_{i}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

Ora, data , la serie si descrive è calle del sottogruppo ortogonale di o, a seconda della fonte, il distruttore di . Questo sottogruppo ha alcune importanti proprietà matematiche: $H$ $H^*$ $H$ $H$

Prima di tutto, è anche sottogruppo di ; $H^*$ $G$
$H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$
$χ_{g} (h) = 1, for every g \in H^{*}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

Equazioni lineari su gruppi

$X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (x) = b

$\alpha(x)=b$

A

$A$ , in modo tale che il problema sopra riportato possa essere nuovamente espresso come dove assumiamo .

A x = (\begin{matrix} a_{1} (1) & a_{2} (1) & \dots & a_{n} (1) \\ a_{1} (2) & a_{2} (2) & \dots & a_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{1} (m) & a_{2} (m) & \dots & a_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix} = b

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

L'osservazione chiave finale è che esistono algoritmi classici efficienti per decidere se questi sistemi ammettono soluzioni, contarli e trovarli (ne esaminiamo alcuni in [1] ). L'insieme di soluzioni ha sempre la forma , dove è una soluzione particolare e è il kernel di (un sottogruppo di ). Questi algoritmi classici possono trovare una particolare soluzione del sistema e calcolare un gruppo di generazione di . Questi algoritmi classici fanno un uso cruciale di Smith Normal Forms $x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ per riscrivere il sistema in una forma quasi diagonale (sono necessari altri passaggi intermedi, ma ciò dovrebbe darti un'immagine intuitiva).

Il sistema di equazioni che si ottiene nel tuo caso codifica il sottogruppo nascosto . In particolare ha la forma , per alcuni omomorfismi di gruppo . Il kernel di è precisamente il sottogruppo nascosto. Una soluzione particolare in questo caso è 0, quella banale. $H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— Juan Bermejo Vega
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Dopo il tuo passaggio 4, misurare nella base computazionale ci darà casualmente uno . $I_m$ $\chi \in G^*$

Abbiamo poi ripetere tutti i passaggi che avete dato volte per ottenere un elenco di caratteri nel duplice gruppo di . Questo elenco di caratteri genera un sottogruppo del doppio gruppo . $n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

Abbiamo poi verificare attraverso (classicamente) tutte le possibili sottogruppi di trovare uno dove è . $H$ $H^*$ $K$

Per fisso questo non è sempre una corrispondenza unica, quindi quando c'è degenerazione sceglieremo solo la corrispondenza più grande (poiché il banale sottogruppo corrisponderà a tutti gli elenchi di caratteri). $n$

— WJ Zeng
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