Quali teoremi interessanti in TCS si basano sull'assioma della scelta? (O in alternativa, l'assioma della determinazione?)

I matematici a volte si preoccupano dell'Assioma della Scelta (CA) e dell'Assioma della Determinazione (AD).

Assioma della scelta : Dato un insieme di insiemi non vuoti, c'è una funzione che, dato un insieme in , restituisce un membro di . f S C${\cal C}$$f$$S$${\cal C}$$S$

Assioma della determinazione : Sia un insieme di stringhe di bit infinitamente lunghe. Alice e Bob giocano una partita in cui Alice sceglie un primo bit , Bob sceglie un secondo bit e così via, finché non viene costruita una stringa infinita . Alice vince la partita se , Bob vince la partita se . Il presupposto è che per ogni , esiste una strategia vincente per uno dei giocatori. (Ad esempio, se costituito solo dalla stringa di tutti, Bob può vincere in molte mosse finite.)b 1 b 2 x = b 1 b 2 ⋯ x ∈ S x ∉ $S$$b_1$$b_2$$x = b_1 b_2 \cdots$$x \in S$$x \not \in S$ $S$$S$

È noto che questi due assiomi sono incoerenti tra loro. (Pensaci o vai qui .)

Altri matematici prestano poca o nessuna attenzione all'uso di questi assiomi in una prova. Sembrerebbero quasi irrilevanti per l'informatica teorica, poiché crediamo che lavoriamo principalmente con oggetti finiti. Tuttavia, poiché TCS definisce i problemi di decisione computazionale come stringhe di bit infiniti e misuriamo (ad esempio) la complessità temporale di un algoritmo come una funzione asintotica sui naturali, c'è sempre la possibilità che l'uso di uno di questi assiomi possa insinuarsi in alcune prove.

Qual è l'esempio più eclatante di TCS che si sa dove sono uno di questi assiomi richiesto ? (Conosci qualche esempio?)

Giusto per prefigurare un po ', nota che un argomento di diagonalizzazione (sul set di tutte le macchine di Turing, diciamo) non è un'applicazione dell'Assioma della Scelta. Sebbene il linguaggio definito da una macchina di Turing sia una stringa di bit infinita, ogni macchina di Turing ha una descrizione finita, quindi non abbiamo davvero bisogno di una funzione di scelta per infiniti set infiniti qui.

(Ho messo molti tag perché non ho idea da dove verranno gli esempi.)

Qualsiasi affermazione aritmetica dimostrabile in ZFC è dimostrabile in ZF, e quindi non "necessita" dell'assioma della scelta. Con un'affermazione "aritmetica" intendo un'affermazione nella lingua dell'aritmetica del primo ordine, nel senso che può essere affermata usando solo quantificatori su numeri naturali ("per tutti i numeri naturali x" o "esiste un numero naturale x"), senza quantificare su insiemi di numeri naturali. A prima vista potrebbe sembrare molto restrittivo vietare la quantificazione su insiemi di numeri interi; tuttavia, gli insiemi finiti di numeri interi possono essere "codificati" utilizzando un unico numero intero, quindi è corretto quantificare su insiemi finiti di numeri interi.

Praticamente qualsiasi dichiarazione di interesse per TCS può, con forse un po 'di finagling, essere formulata come una dichiarazione aritmetica, e quindi non ha bisogno dell'assioma della scelta. Ad esempio, sembra a prima vista un'asserzione su infiniti insiemi di numeri interi, ma può essere riformulata come "per ogni macchina Turing polinomiale, esiste un'istanza SAT che si sbaglia", che è un calcolo aritmetico dichiarazione. Quindi la mia risposta alla domanda di Ryan è: "Non ne conosco nessuno".$P\ne NP$

Ma aspetta, potresti dire, che dire delle affermazioni aritmetiche la cui prova richiede qualcosa come il lemma di Koenig o il teorema dell'albero di Kruskal? Questi non richiedono una forma debole dell'assioma della scelta? La risposta è che dipende esattamente da come dichiari il risultato in questione. Ad esempio, se affermi il teorema minore del grafico nella forma, "dato qualsiasi insieme infinito di grafici senza etichetta, devono esistere due di essi in modo tale che uno sia un minore dell'altro", quindi è necessario un po 'di scelta per marciare la tua serie infinita di dati, la selezione di vertici, sottografie, ecc. [EDIT: ho fatto un errore qui. Come spiega Emil Jeřábek, il teorema minore grafico - o almeno la sua affermazione più naturale in assenza di CA - è dimostrabile in ZF. Ma modulo questo errore, quello che dico di seguito è ancora sostanzialmente corretto. ] Tuttavia, se invece annoti una particolare codifica con numeri naturali della relazione minore su grafici finiti etichettati e esprimi il teorema minore del grafico come un'istruzione su questo particolare ordine parziale, allora l'istruzione diventa aritmetica e non richiede AC in la prova.

Molte persone ritengono che l '"essenza combinatoria" del teorema minore del grafico sia già catturata dalla versione che corregge una particolare codifica e che la necessità di invocare AC per etichettare tutto, nel caso in cui ti venga presentato il set generale- versione teorica del problema, è una sorta di artefatto irrilevante di una decisione di usare la teoria degli insiemi piuttosto che l'aritmetica come fondamento logico di una persona. Se ti senti allo stesso modo, il teorema minore grafico non richiede AC. (Vedi anche questo post di Ali Enayat sulla mailing list Foundations of Mathematics, scritta in risposta a una domanda simile che avevo una volta.)

L'esempio del numero cromatico del piano è allo stesso modo una questione di interpretazione. Ci sono varie domande che puoi porre che risultano equivalenti se assumi AC, ma che sono domande distinte se non assumi AC. Da un punto di vista TCS, il cuore combinatorio della domanda è la colorabilità dei sottografi finiti del piano e il fatto che è quindi possibile (se si desidera) utilizzare un argomento di compattezza (è qui che entra in gioco AC) per concludere qualcosa circa il numero cromatico dell'intero piano è divertente, ma di interesse un po 'tangenziale. Quindi non penso che questo sia davvero un buon esempio.

Penso che alla fine potresti avere più fortuna nel chiedere se ci sono domande TCS che richiedono grandi assiomi cardinali per la loro risoluzione (piuttosto che AC). Il lavoro di Harvey Friedman ha dimostrato che alcune affermazioni finanziarie nella teoria dei grafi possono richiedere grandi assiomi cardinali (o almeno la coerenza 1 di tali assiomi). Gli esempi di Friedman finora sono leggermente artificiali, ma non sarei sorpreso di vedere esempi simili spuntare "naturalmente" in TCS durante le nostre vite.

La mia comprensione è che la dimostrazione nota per il teorema di Robertson-Seymour utilizza l'Assioma della scelta (tramite il teorema dell'albero di Kruskal). Ciò è considerevolmente interessante dal punto di vista del TCS, poiché il teorema di Robertson-Seymour implica che i test di appartenenza in una determinata famiglia di grafici di dimensioni minori possono essere eseguiti in tempi polinomiali. In altre parole, l'Assioma della scelta può essere utilizzato indirettamente per dimostrare l' esistenza di algoritmi temporali polinomiali per determinati problemi, senza effettivamente costruire tali algoritmi.

Questo potrebbe, tuttavia, non essere esattamente quello che stai cercando, in quanto non è chiaro se AC sia effettivamente richiesto qui.

Ciò si riferisce alla risposta data da Janne Korhonen.

C'è stato un flusso di risultati negli anni '80 e '90 che hanno cercato di caratterizzare i sistemi di assiomi (in altre parole, la teoria aritmetica) necessari per dimostrare le estensioni del teorema dell'albero di Kruskal (KTT; il KTT originale è del 1960). In particolare, Harvey Friedman ha dimostrato diversi risultati seguendo questa linea (vedi SG Simpson. Non reperibilità di alcune proprietà combinatorie di alberi finiti . A Los Angeles Harrington et al., Editore, Research on Foundations of Mathematics di Harvey Friedman. Elsevier, North-Holland, 1985) . Questi risultati hanno mostrato che (alcune estensioni di) KTT devono usare Assiomi di Comprensione "forti" (cioè, assiomi che affermano che esistono determinati insiemi di elevata complessità logica). Non conosco precisamente la provabilità delle estensioni di KTT in ZF (senza l'assioma della scelta).

Parallelamente a questo flusso di risultati, si è tentato di collegarlo a ("Teoria B") TCS tramite sistemi di riscrittura . L'idea è quella di costruire sistemi di riscrittura (pensala come una sorta di programmazione funzionale, o programmi lambda-calcolo) per i quali la loro terminazione dipende da alcune (estensioni) di KTT (la connessione originale tra KTT e riscrivere la terminazione dei sistemi è stata dimostrata da N Dershowitz (1982)). Ciò implica che per dimostrare che determinati programmi terminano è necessario un forte assioma (poiché le estensioni di KTT necessitano di tali assiomi). Per questo tipo di risultati, vedi ad esempio A. Weiermann, Limiti di complessità per alcune forme finite del teorema di Kruskal , Journal of Symbolic Computation 18 (1994), 463-488.

Il problema Hadwiger-Nelson è tangenzialmente correlato e richiede il numero minimo di colori richiesto per colorare il piano dove i punti a distanza esattamente 1 ricevono colori diversi. Esistono dei sottografi finiti che richiedono quattro colori e una sette colorazione costruibile piastrellando il piano con esagoni.${\mathbb R}^2$

In Shelah e Soifer, "Assioma di scelta e numero cromatico del piano" , viene mostrato che se tutti i sottografi finiti del piano sono a quattro cromatici, allora

• Se si assume l'assioma di scelta, il piano è quadricromico.
• Se si assume il principio delle scelte dipendenti e che tutti gli insiemi sono misurabili di Lebesgue, l'aereo è a cinque, sei o sette colori.

Alcune delle opere di Olivier Finkel sembrano legate alla domanda - sebbene non necessariamente esplicitamente sull'Assioma della scelta stessa - e in linea con la risposta di Timothy Chow. Ad esempio, citando l'abstract of Incompleteness Teorems, Large Cardinals e Automata over Finite Words , TAMC 2017 ,

$T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$$n \geq 0$

[Questa non è una risposta diretta alla tua domanda, ma potrebbe essere suggestiva e / o informativa per alcune persone.]

Il sondaggio P vs. NP di William Gasarch fornisce alcune statistiche su "come sarà risolto P vs. NP":

1. 61 pensato P ≠ NP.
2. 9 pensato P = NP.
3. 4 pensato che sia indipendente . Sebbene non sia stato menzionato alcun particolare sistema di assioma, suppongo che ritengano che sia indipendente da ZFC .
4. 3 ha appena affermato che NON è indipendente dall'aritmetica ricorsiva primitiva.
5. Ho detto che sarebbe dipeso dal modello.
6. 22 non hanno offerto opinioni.

Wikipedia ha un'interessante interpretazione dell'indipendenza:

... Queste barriere hanno anche portato alcuni scienziati informatici a suggerire che il problema P contro NP potrebbe essere indipendente dai sistemi assiomi standard come ZFC (non può essere provato o smentito al loro interno). L'interpretazione di un risultato di indipendenza potrebbe essere che non esiste un algoritmo del tempo polinomiale per qualsiasi problema NP-completo e che tale prova non può essere costruita in (ad esempio) ZFC, o che possono esistere algoritmi del tempo polinomiale per problemi NP-completi, ma è impossibile dimostrare in ZFC che tali algoritmi sono corretti [ 1]. Tuttavia, se si può dimostrare, usando tecniche del tipo attualmente note per essere applicabili, che il problema non può essere deciso anche con ipotesi molto più deboli che estendono gli assiomi di Peano (PA) per l'aritmetica dei numeri interi, allora esisterebbe necessariamente quasi- algoritmi a tempo polinomiale per ogni problema in NP [ 2 ]. Pertanto, se si ritiene (come la maggior parte dei teorici della complessità) che non tutti i problemi in NP hanno algoritmi efficienti, ne conseguirebbe che prove di indipendenza utilizzando tali tecniche non possono essere possibili. Inoltre, questo risultato implica che dimostrare l'indipendenza da PA o ZFC usando le tecniche attualmente conosciute non è più facile che provare l'esistenza di algoritmi efficienti per tutti i problemi in NP.

$ZF$

$G$$\chi(H)$$H$$G$$G$

$ZF$