Complessità di calcolo di un minorenne più denso

Considera il seguente problema.
Input: un grafico non orientato $G=(V,E)$ .
Output: un grafico $H$ che è un minore di $G$ con la più alta densità del bordo tra tutti i minori di $G$ , ovvero con il rapporto più alto $|E(H)|/|V(H)|$.

Questo problema è stato studiato? È risolvibile in tempi polinomiali o è NP-difficile? Cosa accadrebbe se considerassimo le classi di grafici limitate come le classi con minori esclusi?

Se chiediamo invece il sottografo più denso, il problema è risolvibile in tempi polinomiali . Se aggiungiamo un parametro aggiuntivo e chiediamo il sottografo più denso con vertici, il problema è NP-completo (questa è una facile riduzione da -clique).$k$$k$$k$

Ok, dato che qui non c'è ancora nulla in termini di risposta, lasciami almeno fare un paio di semplici osservazioni:

Per i grafici della larghezza degli alberi limitata dovrebbe essere possibile trovare un minore più denso (o anche un minore con un numero specificato di bordi e vertici) dal solito tipo di programma dinamico sulla decomposizione dell'albero, in cui ogni stato del programma dinamico tiene traccia del numero di spigoli e vertici nella parte del minore che vive in una sottostruttura della decomposizione, il sottoinsieme di vertici nella borsa della decomposizione che partecipano al minore, le equivalenze tra i vertici in questo sottoinsieme causate dalle contrazioni minori nell'insieme grafico e un perfezionamento di questa relazione di equivalenza causata dalle contrazioni nella parte del minore che vive nella sottostruttura.

$\le 3-\epsilon$

$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

$k$$k$$O(n^3)$