Quali sono i motivi convincenti per credere a

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Quali sono i motivi convincenti per credere a ? L è la classe di algoritmi spazio-log con puntatori all'input. $L\neq P$

Supponiamo che L = P per il momento. Che aspetto avrebbe un algoritmo spazio log per un problema P-completo nei suoi contorni generali?

cc.complexity-theory complexity-classes

— Jumer
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in un certo senso sarebbe un algoritmo di compressione spaziale per un calcolo della macchina di Turing P-time che di solito occupa spazio P. quindi se L ≠ P allora c'è un "limite di compressibilità (in)" di P. una possibile direzione di costruzione / domanda / ricerca basata su questo angolo, compressione della sequenza di corsa TM

— vzn

1

vedi anche la separazione del post sul blog L / P & kintalis qui citato

— vzn

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Il risultato di Mulmuley (dalla pagina web di Mulmuley senza paywall) che, nel modello PRAM senza operazioni di bit, " ". (Nel solito modello booleano in cui vive, ) Questo modello è abbastanza forte che il risultato implica che qualsiasi algoritmo per un problema completo dovrebbe apparire abbastanza diverso dagli algoritmi più noti per problemi completi. $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NC}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

Il modello PRAM senza operazioni a bit è un modello algebrico non uniforme su (simile agli alberi di calcolo algebrico o al modello RAM algebrico Blum - Shub - Smale) in cui il programma non uniforme può dipendere non solo dal numero di input interi, ma anche sulla loro lunghezza totale in bit. In questo modo non è un modello algebrico "puramente", ma vive da qualche parte tra algebrico e booleano. Questo modello include algoritmi poly-time per la programmazione lineare, maxflow, mincut, spanning tree ponderato, percorsi più brevi e altri problemi di ottimizzazione combinatoria, l'algoritmo dello spazio di log per l'isomorfismo dell'albero (vedi commenti sotto) e algoritmi per l'approssimazione delle radici complesse dei polinomi, ecco perché dico qualsiasi algoritmo per una $\mathbb{Z}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ -il problema completo (che, come indica la tua domanda, la maggior parte delle persone pensa che non esista) dovrebbe apparire alquanto diverso da uno di questi.

— Joshua Grochow
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Nella sua congettura a pagina 62, in che modo Mulmuley mette in relazione

con flusso di mincost? Perché

deve essere lineare e

una biiezione? La congettura sembra implicare alcuna di ranghi

lineare map (dal cartina inverso lineare 1-1 mappa è lineare) valutata a zero insieme di

può coprire

. La mia interpretazione è corretta?

S L_{m} (C)

$SL_m(C)$

L

$L$

F

$F$

k

$k$

S L_{m} (C)

$SL_m(C)$

L (n)

$L(n)$

— T ....

(Bella domanda, ma sembra in qualche modo ortogonale alla domanda che viene posta qui ...) Sì. Qualsiasi cosa calcolabile in modo efficiente nel modello PRAM senza operazioni a bit ha una piccola formula

, quindi (per Valiant) è una proiezione di det:

. In particolare,

se e solo se

.

φ

$\varphi$

φ (x) = det (F (x))

$\varphi(x) = \det(F(x))$

x \in L (n)

$x \in L(n)$

det (F (x)) = 1

$\det(F(x)) = 1$

x \in F^{- 1} (S L_{m})

$x \in F^{-1}(SL_m)$

— Joshua Grochow,

l'unica ipotesi è

che sembra essere il caso. Molto interessante! Come con qualsiasi altra ipotesi di complessità e prove - È noto l'altro modo: cioè se

,

? Non ho mai visto conversazioni del genere nella teoria della complessità o tali conversioni non sono possibili?

d e t \notin N C^{1}

$det\notin NC^{1}$

d e t \in N C^{1}

$det\in NC^1$

P = N C

$P=NC$

— T ....

@JAS: Non capisco cosa intendi per "l'unica ipotesi è ...": Non penso che ne consegue che

, se è quello che stavi dicendo ...

det \notin N C^{1} \Rightarrow P \neq N C

$\det \notin NC^1 \Rightarrow P \neq NC$

— Joshua Grochow,

1

@JAS: La convinzione che

supporti la congettura, ma non implica la congettura. Menziona il contrario, che se la corrispondenza perfetta

allora la congettura è falsa per la piccola

. Allo stesso modo, se la congettura è vera, allora l'abbinamento perfetto

. Nota che questa è la direzione opposta a quello che stavi dicendo.

d e t \notin N C^{1}

$det \notin NC^1$

\in N C^{1}

$\in NC^1$

a

$a$

\notin N C^{1}

$\notin NC^1$

— Joshua Grochow,

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Esiste una serie di lavori di M. Hofmann e U. Schöpp che formalizza la nozione intuitiva di "tipici algoritmi dello spazio logaritmico", usando solo un numero costante di puntatori alla struttura dei dati di input, come linguaggio di programmazione VIOLA (programmi di puntatore puri con iterazione.)

Anche se i programmi VIOLA non catturano tutta la (è stato dimostrato che non sono in grado di decidere st-connectiviy non indirizzata), la loro estensione con conteggio mostra di catturare una grande frazione di , ma non il problema P-completo Horn-SAT . Ciò è mostrato nell'ultimo documento della serie: M. Hofmann, R. Ramyaa e U. Schöpp: Pure Pointer Programs and Tree Isomorphism, FOSSACS 2013. $\mathsf{L}$ $\mathsf{L}$

La conclusione sembra essere che gli algoritmi dello spazio logaritmico per i problemi completi devono essere molto atipici e andare oltre ciò che può essere implementato in VIOLA con il conteggio. $\mathsf{P}$

— Jan Johannsen
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VIOLA con conteggio è un modello interessante e corrisponde alla mia ingenua intuizione di algoritmi di spazio di log. Ma non so se questo risultato sia una buona prova per

: dicono anche "Quindi, la soddisfazione del corno non può essere decisa in VIOLA aumentata con non determinismo e conteggio, ma proprio per la ragione che un particolare problema di LOGSPACE, vale a dire l'albero l'isomorfismo non può. " Questo in sostanza dice che il risultato riguarda davvero la debolezza del conteggio VIOLA + (corrispondente all'intuizione ingenua degli algos dello spazio di log) piuttosto che la debolezza di L ...

L \neq P

$L \neq P$

— Joshua Grochow,

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La complessità descrittiva ha tentato di fornire alcune risposte.

FO (logica del primo ordine), con ord (ordinamento del dominio) e TC (chiusura transitiva) $= L$ .

FO + ord + LFP (punto minimo fisso) . $= P$

Quindi sorge la domanda: FO + ord + TC FO + ord + LFP? $\subset$

D'altra parte, FO + LFP (senza ord) non può nemmeno contare! Ad esempio, non è in grado di esprimere il fatto che la cardinalità del dominio è pari. Questa logica non può certamente catturare - ma la domanda è: può catturare o ? $P$ $L$ $NL$

Vedi ad esempio http://www.cs.umass.edu/%7Eimmerman/pub/EATCScolumn.pdf

E poi, la logica del secondo ordine (SO) + Horn cattura P, mentre SO + Krom acquisisce NL. Vedi Erich Gradel, Catturare classi di complessità con frammenti di logica di secondo ordine , Teoretical Computer Science, 1992.

— Martin Seymour
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3

FO + LFP senza ordine non può sicuramente catturare

, proprio per il motivo che citi: non può contare, nemmeno il modulo 2.

L

$\mathsf{L}$

— Jan Johannsen,

Essere d'accordo. Quindi la domanda (o meglio, una delle domande) è: FO + LFP (senza ord) è un sottoinsieme rigoroso di FO + LFP (con ord)?

— Martin Seymour,

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Questo non è realmente una risposta, ma come descritto qui Credo che per il problema -complete dovrebbe essere possibile definire alcuni "misura complessità" a istanze tali che risolvere un'istanza di complessità richiederebbe spazio. Se vero ciò implicherebbe la separazione desiderata; se identifichiamo una tale misura, sembra a portata di mano limitare la complessità dello spazio monotono delle istanze, e questo darebbe prove tangibili che siamo sulla buona strada, anche se mostrare un limite non monotono è apparentemente molto più difficile. $\sf{P}$ $\sf{GEN}$ $k$ $\Theta(k \log n)$

— NisaiVloot
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