Esatta complessità di un problema in

Sia $x_i \in \{-1,0,+1\}$ per $i \in \{1,\ldots,n\}$ , con la promessa che $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (dove la somma è superiore a $\mathbb{Z}$ ). Allora, qual è la complessità nel determinare se $x = 1$ ?

Si noti che banalmente il problema risiede in $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ perché $x \equiv 1\bmod{m}$ iff $x = 1$ . La domanda è: il problema risiede in $\mathsf{AC}^0$ ? In tal caso, a cosa sta assistendo il circuito? In caso contrario, come si può provare questo?

Puoi usare il solito argomento sul lemma di commutazione. Non hai spiegato come rappresenti il ​​tuo input in binario, ma con qualsiasi codifica ragionevole, la seguente funzione è AC equivalente alla tua funzione: (Partiamo dal presupposto che sia pari.) Seguendo queste note di lezione , supponiamo che possa essere calcolato da un circuito di profondità di dimensioni . Quindi una restrizione casuale di lascia al massimo una funzione della complessità dell'albero decisionale$^0$

$$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $n$$f$$d$$n^b$$n - n^{1/2^d}$$2^d(b+1)+1$ con probabilità almeno . Un calcolo probabilmente mostrerà che questa è un'altra istanza di (su una dimensione di input più piccola) con probabilità , e quindi c'è qualche restrizione casuale che produce sia un'istanza di su input e una funzione con complessità dell'albero decisionale costante, che porta a una contraddizione. Lo stesso argomento dovrebbe produrre limiti inferiori esponenziali.$1-1/(3n)$$f$$\Theta(1/\sqrt{n})$$f$$n^{1/2^d}$

Non penso che questo sia in AC0 e posso mostrare un limite inferiore per il relativo problema promettente di distinguere tra e , quando . Tecniche di Fourier simili dovrebbero applicarsi al tuo problema, ma non l'ho verificato. O forse c'è una semplice riduzione.$\sum x_i = 0$$\sum x_i = 2$$x \in \{-1, 1\}^n$

Supponiamo che ci sia una dimensione profondità circuito che calcola una funzione tale che ogniqualvolta . Perché per una casuale , la probabilità che sia e per ognuna di queste ci sono coordinate che cambiano il valore di , l'influenza totale di è$s$$d$$f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$$f(x) = \sum_i x_i$$\sum_i x_i \in \{0,2\}$$x$$\sum_i x_i = 0$$2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$$x$$n/2$$f$$f$$\Omega(n^{1/2})$, che è all'incirca uguale alla maggioranza (perché hai incluso la maggior parte degli input sensibili della maggioranza). Secondo un teorema di Hastad (vedi Colorraly 2.5 nelle note di Ryan O'Donnel ), ciò implica che

$$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$$