Iperdoctrina e logica monadica del secondo ordine

Questa domanda è essenzialmente la domanda che ho posto su Mathoverflow.

La logica Monadic Second Order (MSO) è una logica del secondo ordine con quantificazione su predicati unari. Cioè, quantificazione su insiemi. Esistono diverse logiche MSO che sono fondamentali per le strutture studiate in informatica.

Domanda 1. Esiste una semantica categorica per le logiche monadiche del secondo ordine?

Domanda 2. I trattamenti della logica categorica spesso parlano di "logica intuizionista di ordine superiore". Ho ragione a supporre che si riferiscano a funzioni di ordine superiore, piuttosto che alla quantificazione rispetto ai predicati del secondo ordine?

Domanda 3. (Aggiunta, 08 nov 2013, dopo la risposta di Neel) La mia comprensione della quantificazione del primo ordine (in termini di presentazione di Pitts menzionata di seguito) è che è definita rispetto al pullback di un morfismo di proiezione π . In particolare, la quantificazione universale è interpretata come l'aggiunta destra di π ∗ e la quantificazione esistenziale è interpretata come l'aggiunta sinistra di π ∗ . Questi contesti devono soddisfare alcune condizioni, che a volte ho visto definite condizioni Beck-Chevalley e Frobenius-reciprocità.$\pi^*$$\pi$$\pi^*$$\pi^*$

Ora, se vogliamo quantificare i predicati suppongo di essere in una categoria chiusa cartesiana, l'immagine è quasi la stessa, tranne per il fatto che sotto ha una struttura diversa da prima.$X$

$$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$$

È giusto?

Credo che il mio blocco mentale fosse dovuto al fatto che in precedenza avevo a che fare con iperdottrine di primo ordine e non avevo bisogno che la categoria fosse cartesiana chiusa e non la consideravo più tardi.

Contesto e contesto. Ho lavorato con la presentazione della logica categorica di Andy Pitts nel suo Manuale di Logica nell'articolo di Informatica , ma ho anche familiarità con il trattamento della teoria di Tripos nella sua tesi di dottorato, così come le note di Awodey e Bauer. Ho iniziato a studiare le categorie per i tipi di Crole e il libro di Lambek e Scott, ma è da un po 'che non consulto gli ultimi due testi.

Per la motivazione, sono interessato al tipo di logiche MSO che appaiono nei teoremi di seguito. Non voglio avere a che fare con una logica espressamente equivalente a una di queste. Significato, non voglio codificare predicati monadici in termini di funzioni di ordine superiore e quindi occuparmi di un'altra logica, ma sono felice di studiare una semantica che include una tale codifica sotto il cofano.

1. (Teorema di Buechi ed Elgot) Quando l'universo delle strutture è costituito da parole finite su un alfabeto finito, una lingua è regolare esattamente se è definibile in MSO con un predicato interpretato per esprimere posizioni consecutive.
2. (Teorema di Buechi) Quando l'universo delle strutture è parole su un alfabeto finito, una lingua è ω -regolare esattamente se è definibile in MSO con un predicato interpretato appropriato.$\omega$$\omega$
3. (Thatcher and Wright Theorem) Una serie di alberi finiti è riconoscibile da un automa ad albero finito dal basso verso l'alto esattamente se è definibile in MSO con un predicato interpretato.
4. WS1S è la debole teoria monadica del secondo ordine di One Successor. Le formule definiscono insiemi di numeri naturali e le variabili del secondo ordine possono essere interpretate solo come insiemi finiti. WS1S può essere deciso da automi finiti codificando tuple di numeri naturali come parole finite.
5. (Rabore's Theorem) S2S è la teoria del secondo ordine di due successori. S2S può essere deciso dagli automi Rabin.

1. Non lo so!

2. No, il tuo presupposto non è giusto. È possibile quantificare su funzioni e predicati di ordine superiore in IHOL (in effetti, i predicati sono solo funzioni in un tipo di proposizioni). L'installazione è un po 'simile a questa:

   $$\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$$

$\mathrm{prop}$$\iota$

$P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$$C$

Per arrivare a IHOL, lo affermi inoltre

1. $C$
2. $C$$H$$\Gamma \in C$$\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$$H$$\mathrm{prop}$$\mathrm{prop}$

$P(\Gamma)$$\Gamma$