Intuizione per la classe UP

La classe UP è definita come tale:

La classe di problemi decisionali risolvibili da una macchina NP tale che

Se la risposta è "sì", accetta esattamente un percorso di calcolo.

Se la risposta è "no", tutti i percorsi di calcolo vengono rifiutati.

Sto cercando di sviluppare l'intuizione per questa definizione.

Si può dire che i problemi UP sono i problemi con soluzioni uniche (ad es. Fattorizzazione primaria)?

Questo mi sembra vicino alla verità; ma non posso impedirmi di pensare che ciò significherebbe, dal momento che fino contiene P ed è contenuto in NP, che in caso P = NPavremmo ottenere che P = UP = NP, in modo che tutti i problemi in NPhanno soluzioni uniche pure, che sembra qualcosa di dimostrabilmente non è vero: P != NPda reductio ad absurdum. Spero che non ci siano troppe congetture e esitazioni a mano in questo paragrafo per i tuoi gusti.

cc.complexity-theory complexity-classes

— Valya
fonte

La definizione di "soluzione unica" è problematica: la risoluzione dei giochi di parità , ad esempio, è in UP (UP

coUP, in effetti), ma potrebbero esserci molte strategie vincenti. Il testimone unico è più coinvolto.

\cap

$\cap$

— Shaull

hm, quindi ciò significherebbe che esiste un algoritmo per una macchina di Turing non deterministica, che non "prova in modo non deterministico ogni soluzione" (ho pensato che fosse l'idea nel cuore dell'equivalenza delle definizioni di NP per n.-d. e d. Tm), ma qualcosa di più sofisticato, portando sempre al risultato unico tra molti possibili ... È vero? C'è un altro modo per affermarlo, ad esempio usando solo l'idea di un T deterministico (si può definire NP usando solo esso)?

— Valya,

L'intuizione di testimone unico è corretta, ma deve essere usata con attenzione, poiché non significa che ogni NTM abbia una corsa unica.

— Shaull

Adoro questa domanda! Avevo la stessa identica confusione ma non vedevo il modo intelligente di tradurre questa confusione in una semplice prova che P! = NP. Molto bene!

— Vincent,

A proposito, la tua domanda dal tuo ultimo commento ha da allora una risposta sulla pagina di Wikipedia per la classe UP

— Vincent

Risposte:

La tua confusione sembra dipendere dal fatto che i problemi di hanno più di un modo per definire una "soluzione" (o testimone). Il tipo di soluzione non fa parte della definizione del problema. Ad esempio, per la colorazione dei grafi, il tipo ovvio di soluzione è un'assegnazione di un colore per ciascun vertice (utilizzando al massimo il numero richiesto di colori); tuttavia, dal teorema di Gallai – Hasse – Roy – Vitaver $\mathsf{NP}$ un altro tipo di soluzione che funziona ugualmente bene è l'assegnazione di un orientamento a ciascun bordo (creazione di percorsi diretti al massimo del numero richiesto di vertici). Questi due tipi di soluzioni possono essere controllati entrambi in tempo polinomiale, ma con algoritmi diversi e hanno anche proprietà combinatorie diverse. Ad esempio, per un'istanza tipica del problema, il numero di assegnazioni dei colori dei vertici sarà diverso dal numero di orientamenti dei bordi. Molte ricerche sull'accelerazione degli algoritmi esponenziali per i problemi di tipo NP possono essere interpretate come trovare una nuova famiglia di soluzioni allo stesso problema che ha meno possibilità di verifica.

Ogni problema in ha una "soluzione" che consiste solo della stringa vuota. Per verificare che si tratti di una soluzione, è sufficiente verificare che la stringa della soluzione sia vuota e quindi eseguire l'algoritmo del tempo polinomiale per l'istanza del problema. Con questo tipo di soluzione, ogni caso si ha esattamente una soluzione valida ed ogni caso non è nullo, rispondenti alla definizione di e mostrando che . Se la stessa soluzione a stringa vuota funzionerebbe anche per ogni problema in , dimostrando che $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $\mathsf{P}\subset\mathsf{UP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$ . Quindi non vi è alcuna contraddizione tra il fatto che la soluzione a stringa vuota sia unica e il fatto che qualche altro tipo di soluzione per lo stesso problema non sia unico.

— David Eppstein
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Quindi l'implicazione

non è contraddittoria? Il seguente problema è NP-completo. Dato N c'è un fattore di N in un dato intervallo

U P = N P

$UP=NP$

[a, b]

$[a,b]$ dire dove

? Potrebbe esserci più di un fattore in quell'intervallo e la soluzione potrebbe non essere unica?

a, b \sim N^{\frac{1}{4}}

$a,b\sim N^{\frac{1}{4}}$

a < b

$a<b$

— T ....

Ancora una volta, stai presupponendo erroneamente che la soluzione possa essere solo il fattore che stai cercando. Potrebbero esserci altri modi per risolvere lo stesso problema (cioè ottenere una risposta sì o no per la data N) che non consistono in un fattore. E se P = NP la stringa vuota soddisfa i requisiti tecnici di una soluzione NP - è possibile verificarla in tempo polinomiale - e in effetti non è un fattore ma è una soluzione allo stesso problema.

— David Eppstein,

Questa risposta è assolutamente geniale in quanto ci insegna ancora più di quanto ci si chiede!

— Vincent,

$\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NPMV} \subseteq_{c} \mathsf{NPSV}$

$\mathsf{NPMV}$ $\mathsf{NP}$

$\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV}$

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NPMV}$ $\mathsf{NPSV}$ $\mathsf{NPMV} \subseteq_{c} \mathsf{NPSV}$

$\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$ $L \in \mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $L$ $\mathsf{NP}$ $L$

— Joshua Grochow
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