CSP con larghezza di ipertensione frazionaria illimitata

$\acute{\rm a}$H ∈ P T I M $H$$H$$\in PTIME$

Definizioni, ecc.

Per un ottimo rilevamento delle decomposizioni degli alberi standard e della larghezza degli alberi, vedi qui (Grazie in anticipo, JeffE!).

Lascia che sia un ipergrafo.$H$

Quindi per un ipergrafo e una mappatura ,γ : E ( H ) → [ 0 , ∞ $H$$\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$

$B(\gamma) =$ { }.$v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$

Inoltre, let weight ( ) = .∑ e ∈ E γ ( e $\gamma$$\sum_{e \in E}\gamma(e)$

Quindi una decomposizione ipertree frazionaria di è una tripla , dove:( T , ( B t ) t ∈ V ( T ) , ( γ t ) t ∈ V ( T )$H$$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ è una decomposizione dell'albero di e $H$
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ è una famiglia di mappature da $E(H)$ a $[0, \infty)$ m per ogni $t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$ .

Quindi diciamo che la larghezza di è {peso (\ gamma_t), t \ in V (T) }.max ( γ t ) , t ∈ V ( T $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

Infine, la larghezza hypertree frazionaria di $H$ , fhw ( $H$ ), è il minimo della larghezza di tutte le possibili scomposizioni hypertree frazionali di $H$ .

Domanda

Come detto sopra, se l'ampiezza dell'ipertensione frazionaria del grafico sottostante di un CSP è delimitata da una costante, allora esiste un algoritmo di tempo polinomiale per risolvere il CSP. Tuttavia, è stato lasciato come un problema aperto alla fine del documento collegato se vi fossero famiglie risolvibili in tempo polinomiale di istanze CSP con larghezza di ipertensione illimitata. (Devo anche sottolineare che questa domanda è completamente risolta nel caso della larghezza degli alberi limitata e non limitata ( citazione ACM ) presupponendo che .) Dato che è passato del tempo dal primo documento collegato, inoltre sono relativamente inconsapevole dello stato generale di questo sottocampo, la mia domanda è:$FPT \ne W[1]$

Si sa qualcosa sulla tracciabilità (in) dei CSP rispetto ai grafici con larghezza ipertestuale frazionaria illimitata?

Ti sei collegato a due documenti, entrambi con congetture. Suppongo che intendi la congettura di Grohe del 2007.

A questa domanda è stata data una risposta nel 2008:

Teorema 5. CSP (C , _) è in NP, ma né in P né NP-completo (a meno che P = NP). Inoltre, l'insieme C può essere deciso in tempo polinomiale deterministico.$_0$$_0$

• Manuel Bodirsky e Martin Grohe, Non-dicotomie nella complessità della soddisfazione dei vincoli , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( PDF )

L'idea è di creare buchi nelle dimensioni dell'istanza di CLIQUE, con la stessa tecnica di diagonalizzazione ritardata introdotta da Ladner per il suo teorema. Si noti che l'insieme C contiene cricche arbitrariamente grandi e che la larghezza frazionata dell'ipertensione di un -clique è . Quindi è possibile avere CSP della forma CSP (A, _) di complessità intermedia, dove A ha una larghezza ipertestuale frazionaria illimitata. Questo risponde alla congettura di Grohe in negativo. n n /$_0$$n$$n/2$

Alla stessa conferenza, Chen, Thurley e Weyer avevano un documento con un risultato simile, ma ciò richiedeva forti incorporamenti, quindi tecnicamente non era della forma giusta per la congettura.

• Yijia Chen, Marc Thurley e Mark Weyer, Comprensione della complessità degli isomorfismi del sottografo indotto , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

Infine, qualsiasi classe di istanze CSP può essere trasformata in una rappresentazione con larghezza ipertestuale frazionaria nel caso peggiore. In molti casi questa trasformazione ha dimensioni polinomiali limitate e può essere effettuata in tempi polinomiali. Ciò significa che è facile generare CSP con una larghezza ipertestuale frazionaria illimitata, anche con l'equivalenza omomorfa del modulo. Questi CSP non avranno la forma CSP (A, _) poiché le strutture di destinazione sono speciali, ma forniscono un motivo preciso per cui i CSP definiti limitando solo le strutture di origine non sono poi così interessanti: spesso è solo troppo facile nascondere la struttura ad albero di un'istanza CSP modificando la rappresentazione in modo che la struttura di origine abbia una larghezza elevata. (Questo è discusso nel capitolo 7 della mia tesi .)