Cosa può essere risolto con la programmazione semidefinita che non può essere risolto con la programmazione lineare?

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Ho familiarità con i programmi lineari in quanto possono risolvere problemi con funzioni oggettive lineari e vincoli lineari. Ma cosa può risolvere la programmazione semidefinita che la programmazione lineare non può? So già che i programmi semidefiniti sono una generalizzazione di programmi lineari.

Inoltre, come si riconosce un problema che può essere risolto utilizzando la programmazione semidefinita? Qual è un problema tipico per cui viene utilizzata la programmazione semidefinita che non può essere risolto tramite la programmazione lineare?

Grazie mille per qualsiasi risposta.

linear-programming convex-optimization semidefinite-programming

— user11094
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Forse puoi rendere la tua domanda più precisa? Dopo tutto, la programmazione lineare è completa .

P

$\mathsf{P}$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

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@KristofferArnsfeltHansen Non smetto mai di chiedermi perché la gente continui a sollevare questo fatto in discussioni simili. La completezza di P è irrilevante a meno che non si parli di separare P da L o NC - se si parla di tempo polifunzionale, tutto in P è "P-completo". Per suggerire una risposta a OP: una volta risolta una codifica lineare di un problema, (ovvero scrivere come ottimizzazione di una funzione lineare su un polytope) ha perfettamente senso chiedersi se un LP / SDP polisize può risolvere il problema.

— Sasho Nikolov,

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Un problema tipico è MaxCut: genera un taglio in un grafico che (approssimativamente) massimizza il numero di tagli del bordo. Goemans e Williamson hanno mostrato che un SDP approssima il valore di MaxCut entro un fattore di almeno 0,878. Di recente, Chan, Lee, Raghavendra e Steurer hanno dimostrato che per una codifica lineare naturale del problema MaxCut, tutti gli LP di dimensioni polinomiali ottengono un'approssimazione non migliore di 0,5.

È difficile dire concisamente che tipo di problemi di solito beneficiano di un SDP. Un approccio sistematico alla costruzione di rilassamenti della SDP è attraverso le gerarchie, la più potente delle quali è la gerarchia di Lasserre: vedi l'indagine di Rothvoß per una bella introduzione. Ormai ci sono troppi esempi di successi di SDP nell'ottimizzazione da elencare. Inoltre, Raghavendra ha dimostrato che un determinato SDP fornisce la migliore approssimazione a tutti i problemi MaxCSP, se la congettura di Unique Games è vera.

Controlla i libri di Gaertner e Matousek , i capitoli 6 e 13 del libro di Willimson e Shmoys , l'indagine di Lovasz .

— Sasho Nikolov
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Per molti problemi di ottimizzazione combinatoria (ad esempio Max-Cut), la programmazione semidefinita produce rilassamenti molto più forti rispetto al rilassamento LP delle formulazioni IP. Ciò consente la progettazione di algoritmi di approssimazione e di algoritmi esatti che sono più efficienti delle loro controparti lineari grazie alla migliore qualità dei limiti. Esempi sono disponibili nella tesi di abilitazione di Christoph Helmberg , in questo sondaggio e in questa pagina del corso .

Un'altra sequenza recente di risultati spettacolari che utilizzano la programmazione semidefinita è l'applicazione delle algebre di bandiera di Razborov per dimostrare i risultati su problemi di tipo Turan (vedi questo sondaggio e il progetto flagmatico ).

— Thomas Kalinowski
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