Un problema decisionale che non è noto per essere in PH ma sarà in P se P = NP

Modifica : Come Ravi Boppana ha correttamente sottolineato nella sua risposta e Scott Aaronson ha anche aggiunto un altro esempio nella sua risposta , la risposta a questa domanda si è rivelata "sì" in un modo che non mi aspettavo affatto. In primo luogo ho pensato che non rispondessero alla domanda che avrei voluto porre, ma dopo aver riflettuto un po ', queste costruzioni rispondono ad almeno una delle domande che volevo porre, cioè: "Esiste un modo per dimostrare un risultato condizionale" P = NP ⇒ L ∈P 'senza provare il risultato incondizionato L ∈PH? ”Grazie, Ravi e Scott!

Esiste un problema di decisione L tale che le seguenti condizioni sono entrambe soddisfatte?

• L non è noto per essere nella gerarchia polinomiale.
• È noto che P = NP implica L ∈P.

Un esempio artificiale è buono come uno naturale. Inoltre, anche se uso la lettera " L ", può essere un problema promettente invece di una lingua se aiuta.

Sfondo . Se sappiamo che un problema di decisione L è nella gerarchia polinomiale, allora sappiamo che "P = NP ⇒ L ∈P." L'intento della domanda è di chiedere se il contrario è valido. Se esiste una lingua L che soddisfa le due condizioni precedenti, allora può essere considerata una prova del fallimento del contrario.

La domanda è stata motivata dall'interessante commento di Joe Fitzsimons alla mia risposta alla domanda di Walter Bishop " Conseguenze di #P = FP ".

Dato che non ti dispiace un linguaggio artificiale, che ne dici di definire L come vuoto se P è uguale a NP e come problema di arresto se P non è uguale a NP. Va bene, è un po 'un trucco, ma penso che dovrai riformulare il problema per evitare tali trucchi. $L$

Se un esempio artificiale è davvero buono come uno naturale, allora posso davvero fornire un esempio del genere!

Modifica: Inoltre, il mio esempio è "un po '" meno di un imbroglione rispetto a quello suggerito da Ravi Boppana (dove prendiamo L come lingua vuota se P = NP e il problema di arresto altrimenti), in quanto definirò la lingua L dando una procedura finita per decidere se x ∈ L per qualsiasi input x. In nessun caso deciderà se x∈L richiede la risoluzione di una domanda matematica "illimitata" come P vs. NP.$x \in$

Senza ulteriori: lasciate M 1 , M 2 , . . . essere un elenco delle macchine Polying Turing. Per tutti n , sia M t ( n ) il primo lessicograficamente M i che decida correttamente 3SAT su tutti gli input di lunghezza n o inferiore. Quindi definire la lingua L come segue: per tutti gli ingressi x di dimensione n , x ∈ L se e solo se la macchina di Turing codificata da x si ferma al massimo n t ( n $M_1, M_2, ...$$n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$$n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$ passi quando eseguito su un nastro vuoto.

Rivendicazione 1: Se P = NP, allora L ∈ P.$\in$

Dimostrazione: Se P = NP, allora c'è qualche fisso M i che risolve 3SAT per tutti gli ingressi; quindi t ( n ) ≤ i per tutto n . QED$M_i$$t(n) \le i$$n$

Rivendicazione 2: Se P ≠ NP, quindi L ∉ P.$\ne$$\notin$

Prova: se t ( n ) aumenta senza limite, allora possiamo semplicemente applicare il Teorema della Gerarchia del Tempo. QED$t(n)$

Ora, non solo L non è in P assumendo P ≠ NP: si presume che non sarebbe nemmeno in PH (o PSPACE)!$\ne$

Per inciso, mi chiedo se qualcuno può migliorare la costruzione di cui sopra, per ottenere un linguaggio L che è in P se P = NP, ma dimostrabilmente non in PH o PSPACE se P ≠ NP?$\ne$

Rispondendo alla domanda di Scott Aaronson, ma un po 'troppo lungo per un commento, qui è una costruzione di un linguaggio L tale che P = N P implica L ∈ P , ma P ≠ N P implica L ∉ P H .$L$$P = NP$$L \in P$$P \neq NP$$L \notin PH$

Lasciate M 1 , M 2 , M 3 , ... e t ( n ) sia come nella costruzione di Scott. Facciamo in modo che L non si riduca a Σ k S A T per ogni k , ma lo facciamo solo se t ( n ) → ∞ (cioè se P ≠ N P ). La costruzione procede per fasi. Allo stadio s = ( i , j $M_1, M_2, M_3, \dotsc$$t(n)$$L$$\Sigma_{k} SAT$$k$$t(n) \to \infty$$P \neq NP$$s=(i,j)$(utilizzando qualche facilmente calcolabile e facilmente invertibile biiezione Σ * → Σ * × Σ * ), che garantisce che M i non è molto-un riduzione da L a Σ j S A T . Sia n s il numero intero più piccolo in modo tale che t ( n s ) > t ( n s - 1 ) (caso base: n 0 = 1 ). Se esiste un numero intero n s , quindi impostare$\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$$M_i$$L$$\Sigma_{j} SAT$$n_{s}$$t(n_{s}) > t(n_{s-1})$$n_{0} = 1$$n_{s}$L ( 1 n s ) = 1 - Σ k S A T ( M i ( 1 n s ) ) . Se non c'è tale intero n s , abbiamo lasciato L vuoto sempre dopo.$L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$$n_{s}$$L$

Se P ≠ N P , allora t ( n ) → ∞ come n → ∞ , per cui v'è sempre un tale n s , pertanto L non è in P H . Se P = N P , allora la mia L è solo un numero finito diverso da quello di Scott L , e quindi è in P .$P \neq NP$$t(n) \to \infty$$n \to \infty$$n_{s}$$L$$PH$$P = NP$$L$$L$$P$