Conseguenze di #P = FP

Quali sarebbero le conseguenze di #P = FP?

Sono interessato a conseguenze sia pratiche che teoriche.

Da un punto di vista pratico, sono particolarmente interessato alle conseguenze sull'intelligenza artificiale.

I puntatori a documenti o libri sono più che benvenuti.

Per favore, non dire che #P = FP implica P = NP, lo so già. Inoltre, per favore non dire "non ci saranno conseguenze pratiche se l'algoritmo funziona in time , dove è il numero di elettroni nell'Universo" $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha$ : permettimi di supporre che, se esiste un algoritmo di tempo polinomiale deterministico per un problema # P-completo, il suo tempo di esecuzione sarà "clemente" ( , per esempio). $O(n^2)$

— Giorgio Camerani
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Risposte:

Ecco alcune conseguenze teoriche dell'uguaglianza FP = # P, sebbene non abbiano nulla a che fare con l'intelligenza artificiale. L'assunto FP = # P è equivalente a P = PP , quindi lasciatemi usare quest'ultima notazione.

Se P = PP, allora abbiamo P = BQP : il calcolo quantistico del tempo polinomiale può essere simulato dal calcolo classico e deterministico del tempo polinomiale. Questa è una conseguenza diretta di BQP⊆PP [ADH97, FR98] (e di un risultato precedente BQP⊆P ^PP [BV97]). Per quanto ne so, P = BQP non è noto per seguire l'assunzione P = NP. Questa situazione è diversa dal caso del calcolo randomizzato ( BPP ): poiché BPP⊆NP ^NP [Lau83], l'uguaglianza P = BPP segue da P = NP.

Un'altra conseguenza di P = PP è che il modello di calcolo Blum-Shub-Smale sui reali con costanti razionali è equivalente alle macchine di Turing in un certo senso. Più precisamente, P = PP implica P = BP (P _ℝ⁰ ); cioè se una lingua L ⊆ {0,1} ^* è decidibile da un programma a costante libera sui reali in tempo polinomiale, allora L è decidibile da una macchina di Turing a tempo polinomiale. (Qui "BP" sta per "parte booleana" e non ha nulla a che fare con BPP.) Segue BP (P _ℝ⁰ ) ⊆ CH [ABKM09]. Vedi il documento per le definizioni. Un problema importante in BP (P _ℝ⁰ ) è il problema della somma della radice quadratae amici (ad es. "Dato un intero k e un insieme finito di punti di coordinate intere sul piano, c'è un albero di spanning della lunghezza totale al massimo k ?") [Tiw92].

Analogamente al secondo argomento, il problema di calcolare un bit specifico in x ^y quando gli interi positivi x e y sono indicati in binario sarà in P se P = PP.

Riferimenti

[ABKM09] Eric Allender, Peter Bürgisser, Johan Kjeldgaard-Pedersen e Peter Bro Miltersen. Sulla complessità dell'analisi numerica. SIAM Journal on Computing , 38 (5): 1987-2006, gennaio 2009. http://dx.doi.org/10.1137/070697926

[ADH97] Leonard M. Adleman, Jonathan DeMarrais e Ming-Deh A. Huang. Computabilità quantistica. SIAM Journal on Computing , 26 (5): 1524-1540, ottobre 1997. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539795293639

[BV97] Ethan Bernstein e Umesh Vazirani. Teoria della complessità quantistica. SIAM Journal on Computing , 26 (5): 1411-1473, ottobre 1997. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539796300921

[FR98] Lance Fortnow e John Rogers. Limitazioni della complessità sul calcolo quantistico. Journal of Computer and System Sciences , 59 (2): 240–252, ottobre 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1999.1651

[Lau83] Clemens Lautemann. BPP e la gerarchia temporale polinomiale. Lettere per l'elaborazione delle informazioni , 17 (4): 215–217, novembre 1983. http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(83)90044-3

[Tiw92] Prasoon Tiwari. Un problema che è più facile da risolvere sulla RAM algebrica a costo unitario. Journal of Complexity , 8 (4): 393–397, dicembre 1992. http://dx.doi.org/10.1016/0885-064X(92)90003-T

— Tsuyoshi Ito
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Mi hai battuto per questo! In realtà, hai ragione su BQP vs NP. Sembra che ci siano prove ragionevoli che BQP non è contenuto in PH (vedi ad esempio arxiv.org/abs/0910.4698 ), anche se credo che la congettura Linial-Nisan generalizzata usata nel secondo bit sia stata dimostrata errata.

— Joe Fitzsimons,

@turkistany: se non sbaglio, P = NP implica P = BPP perché BPP è contenuto in PH, e se P = NP quindi P = PH.

— Niel de Beaudrap,

Per inciso: +1 per (FP = # P) ⇔ (P = PP), anche mettendo da parte il resto del contenuto della risposta.

— Niel de Beaudrap,

@Joe: Alla luce delle risposte all'altra domanda, penso che la migliore prova di “P = NP non implica P = BQP” senza dimostrare effettivamente P = NP ≠ BQP sarebbe probabilmente un risultato di separazione dell'oracolo: “Esiste un oracolo A tale che P ^ A = NP ^ A ≠ BQP ^ A. ”Naturalmente, questo non è affatto facile perché quel risultato implicherebbe BQP ^ A⊈PH ^ A, risolvendo una grande domanda aperta.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: Non puoi costruire un simile oracolo da un oracolo rispetto al quale BQP non è contenuto in PH, semplicemente prendendolo insieme a PH per formare un nuovo oracolo?

— Joe Fitzsimons,

Nei modelli grafici , molti dei problemi di stima sono # P-completi, poiché comportano calcoli di somma dei prodotti come i grafici permanenti rispetto a quelli generali. Se #P = FP, allora i modelli grafici diventano improvvisamente molto più facili e non dobbiamo più andare in giro con i modelli a larghezza ridotta.

— Suresh Venkat
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$PH \subseteq P^{\#P}$ $\sharp P=FP$ $PH$

— Mohammad Al-Turkistany
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Qualcuno può chiarire: non è la stessa cosa che dire "P = PH" (che immediatamente seguirebbe da P = NP)?

— Niel de Beaudrap,

@Niel: non è lo stesso, è più forte.

— Giorgio Camerani,

P^{FP} = P

$\text P^{\text{FP}} = \text P$

# P = FP

$\#\text P = \text{FP}$

PH \subseteq P^{# P} = P^{FP} = P \subseteq PH

$\text{PH} \subseteq \text P^{\#\text P} = \text P^{\text{FP}} = \text P \subseteq \text{PH}$

@Tutti: solo per chiarire --- il mio primo commento sopra è stato la seguente domanda "La risposta di turkistany è equivalente all'affermazione che FP = # P implica P = PH?" Se volessi sapere se FP = # P era equivalente a P = PH, avrei chiesto questo in un commento sul post originale, non sulla risposta della Turchia.

— Niel de Beaudrap,

@Niel: hai ragione. Ciò equivale a dire P = PH, che segue da P = NP. Pertanto l'uso del teorema di Toda non era necessario, poiché FP = #P implica già P = NP = PH.

— Robin Kothari,