Quali sono esempi naturali di prove non relativizzabili?

A quanto ho capito, una prova che P = NP o P ≠ NP dovrebbe essere non relativizzabile (come negli oracoli della teoria della ricorsione).

Praticamente tutte le prove sembrano essere relativizzabili, però.

Quali sono buoni esempi di prove non relativizzabili, del tipo che dovrebbe essere una prova P = NP / P need NP, che non sono banali o inventate?

(Non sono un teorico della ricorsione, quindi scusate la mancanza di citazioni.)

[EDIT: miglior post di mathoverflow ]

Come osserva Steven, l'esempio canonico è . Questo collasso non relativizzare, nel senso che v'è un oracolo A , soggetto a cui io P A ≠ P S P A C E A . L'intuizione per cui la prova nota di questo risultato evita la barriera di relativizzazione è che usa l'aritmetizzazione (Yonatan ha accennato a questo in un commento): un protocollo interattivo per la P S P A C $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$A$$\mathsf{IP}^A \ne \mathsf{PSPACE}^A$$\mathsf{PSPACE}$-completo problema TQBF è dato considerando un'estensione di una formula booleana quantificata a un polinomio di basso grado su un campo adeguatamente ampio. Se ci viene data una formula booleana relativizzata (con cancelli dell'oracolo), tale estensione non esiste.

C'è un affinamento della barriera di relativizzazione - l'algebrizzazione - dovuta ad Aaronson e Wigderson . In generale, la tecnica di aritmetizzazione non è sufficiente per aggirare la barriera di algebrizzazione. Una classe di complessità inclusione algebrizes se per qualsiasi oracolo A e qualsiasi estensione ~ A di A di polinomi bassi gradi su un campo finito, C A ⊆ D ~ A . Una separazione C ⊄ D algebrizza se per tutte A e tutte le estensioni ˜ A , C ˜ A$\mathsf{C} \subseteq \mathsf{D}$$A$$\tilde{A}$$A$$\mathsf{C}^A \subseteq \mathsf{D}^{\tilde{A}}$$\mathsf{C} \not \subset \mathsf{D}$$A$$\tilde{A}$ . Aaronson e Wigderson mostrano che I P = P S P A C E algebrizza, ma molti altri risultati, tra cui N P ⊄ P , non lo fanno.$\mathsf{C}^{\tilde{A}} \not \subset \mathsf{D}^{A}$$\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$$\mathsf{NP} \not \subset \mathsf{P}$

$\mathsf{NEXP} \not \subset \mathsf{ACC}$$A$$\tilde{A}$$\mathsf{NEXP}^{\tilde{A}} \subset \mathsf{ACC}^A$$\mathsf{ACC}$circuiti e l'algoritmo utilizza proprietà non relativizzanti e non algebrizzanti di tali circuiti. Ryan nota nel documento che tutti gli algoritmi di soddisfacibilità più che banali conosciuti si rompono quando vengono aggiunti oracoli o estensioni algebriche di oracoli.

C'è anche un approccio interessante per comprendere la relativizzazione attraverso la logica. In un vecchio manoscritto, Arora, Impagliazzo e Vazirani definiscono un sistema di assiomi tale che i risultati relativizzanti sono esattamente quelli che seguono dagli assiomi, mentre i risultati non relativizzanti sono indipendenti dal sistema. Un articolo di Impagliazzo, Kabanets e Kolokolova fa qualcosa di simile per l'algebrizzazione introducendo un assioma aggiuntivo a quelli definiti da Arora, Impagliazzo e Vazirani. Mostrano che i risultati non relativizzanti più noti seguono dai loro assiomi, mentre P vs NP, tra gli altri, è indipendente da loro.

Mi scuso se ho sbagliato qualcosa, non sono proprio un esperto.

Ecco un elenco di prove non relativizzabili:

1. Il teorema del PCP

2. L'impegno dipendente dall'istanza implica un protocollo a conoscenza zero:
   un'equivalenza tra conoscenza zero e impegni

3. Non esiste un efficiente offuscatore di circuiti "scatola nera virtuale" per circuiti generali:
   un'equivalenza tra conoscenza zero e impegni

4. $S_5$
   

5. Contro i provatori non districati, NEXP ha sistemi di prova a 2 prover minimamente interattivi: sistemi di prova
   a un giro a due prover: la loro potenza e i loro problemi

6. Contro i tester eventualmente impigliati, NEXP ha protocolli MIP più interattivi:
   una prova interattiva multi-prover per il suono NEXP contro i tester aggrovigliati

7. $\perp$$\perp$
   
   $C_i$$\pi$$\perp$ se non fosse in grado di scegliere un elemento tra {0,1,2,3, ..., n! -1} perfettamente uniforme in un lasso di tempo abbastanza breve, poiché tale scelta consentirebbe la generazione perfettamente uniforme di un matrice del grafico del ciclo diretto o permutazione dei vertici.

questo è un bel sondaggio sul campo da parte di un grande esperto che riassume / dettaglia alcuni dei punti delle altre risposte finora e ha ulteriori esempi.

[1] Il ruolo della relativizzazione nella teoria della complessità Fortnow

Numerosi risultati non poco incoraggianti nel campo delle prove interattive hanno indotto molte persone a rivedere l'importanza della relativizzazione. In questo documento diamo un'occhiata a come i teorici della complessità usano e usano impropriamente i risultati dell'oracolo. Prestiamo particolare attenzione ai nuovi sistemi di prove interattive e ai risultati del controllo del programma e cerchiamo di capire perché non si relativizzano. Diamo alcuni nuovi risultati che potrebbero aiutarci a capire meglio queste domande.