Implicazioni matematiche delle congetture della teoria della complessità al di fuori del TCS

Conosci interessanti conseguenze di congetture (standard) nella teoria della complessità in altri campi della matematica (cioè al di fuori dell'informatica teorica)?

Preferirei risposte dove:

• la congettura della teoria della complessità è il più generale e standard possibile; Sono d'accordo anche con le conseguenze della durezza di problemi specifici, ma sarebbe bello se i problemi fossero ampiamente ritenuti difficili (o almeno fossero stati studiati in più di un paio di articoli)

• l'implicazione è un'affermazione che non è nota per essere vera incondizionatamente, o altre prove conosciute sono considerevolmente più difficili

• più sorprendente è il collegamento, meglio è; in particolare, l'implicazione non dovrebbe essere un'affermazione esplicita sugli algoritmi

"Se i maiali potessero volare, i cavalli canterebbero" anche i tipi di connessioni vanno bene, purché i maiali volanti provengano dalla teoria della complessità e i cavalli che cantano da un campo della matematica al di fuori dell'informatica.

Questa domanda è in un certo senso "il contrario" di una domanda che avevamo sugli usi sorprendenti della matematica nell'informatica. Dick Lipton aveva un post sul blog esattamente su questa linea: scrive sulle conseguenze della congettura che il factoring abbia una grande complessità circuitale. Le conseguenze sono che alcune equazioni diottantine non hanno soluzioni, una sorta di affermazione che può essere molto difficile da provare incondizionatamente. Il post si basa sul lavoro con Dan Boneh, ma non riesco a trovare un documento.

EDIT: Come osserva Josh Grochow nei commenti, la sua domanda sulle applicazioni del TCS alla matematica classica è strettamente correlata. La mia domanda è, da un lato, più permissiva, perché non insisto sulla restrizione della "matematica classica". Penso che la differenza più importante sia che insisto su una comprovata implicazione da una congettura di complessità a un'affermazione in un campo matematico al di fuori del TCS. La maggior parte delle risposte alla domanda di Josh non sono di questo tipo, ma forniscono invece tecniche e concetti utili nella matematica classica che sono stati sviluppati o ispirati dal TCS. Tuttavia, almeno una risposta alla domanda di Josh è una risposta perfetta alla mia domanda: l'articolo di Michael Freedmanche è motivato da una domanda identica alla mia e dimostra un teorema nella teoria dei nodi, subordinato a . Sostiene che il teorema sembra fuori dalla portata delle tecniche attuali nella teoria dei nodi. Secondo il teorema di Toda, se allora la gerarchia polinomiale collassa, quindi il presupposto è abbastanza plausibile. Sono interessato ad altri risultati simili.$\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$

Ecco un altro esempio dalla teoria dei grafi. Il teorema minore del grafico ci dice che, per ogni classe di grafici non indirizzati che è chiusa sotto minori, esiste un set di ostruzioni finito tale che un grafico è in se e solo se non contiene un grafico in come minore. Tuttavia, il teorema minore grafico è intrinsecamente non costruttivo e non ci dice nulla su quanto siano grandi questi insiemi di ostruzioni, cioè quanti grafici contiene per una particolare scelta di .$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

In Too Many Minor Order Ostructions , Michael J. Dinneen ha dimostrato che sotto una plausibile congettura teorica della complessità, le dimensioni di molti di questi insiemi di ostruzioni possono essere dimostrate essere grandi. Ad esempio, considera la classe parametrizzata dei grafici del genere al massimo . All'aumentare di , possiamo aspettarci che i set di ostruzioni diventino sempre più complicati, ma quanto? Dinneen ha mostrato che se la gerarchia polinomiale non crolla al suo terzo livello, allora non esiste un polinomio tale che il numero di ostruzioni in sia limitato da$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$. Poiché il numero di ostacoli minori per avere il genere zero (cioè essere planare) è solo due ( ), questa crescita superpolinomiale non è immediatamente ovvio (anche se credo che possa essere dimostrato incondizionatamente). La cosa bella del risultato di Dinneen è che si applica alle dimensioni degli insiemi di ostruzioni corrispondenti a qualsiasi insieme parametrico di ideali minori per il quale decide il più piccolo per cui è NP- difficile; in tutti questi ideali minori parametrizzati le dimensioni del set di ostruzioni devono crescere in modo superpolinomiale. $\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

Ecco un esempio: la complessità computazionale e l'asimmetria informativa nei prodotti finanziari di Arora, Barak e Ge mostrano che può essere intrattabile dal punto di vista computazionale (cioè NP-difficile) valutare correttamente i derivati ​​- usano un sottografo più denso come un problema difficile incorporato.

Sulla stessa linea e molto prima c'è il famoso articolo di Bartholdi, Tovey e Trick sulla durezza di manipolare un'elezione.

Come suggerito da Sasho, la mia risposta alla domanda " Applicazioni del TCS alla matematica classica? " Segue:

Nel suo articolo Straight Line Programs e Torsion Points on Elliptic Curves , Qi Cheng mette in relazione la congettura a Bürgisser (una variante della congettura τ di Shub e Smale¹) con il teorema di torsione e il teorema di Masser nel campo delle curve ellittiche.$L$$\tau$

Molto approssimativamente, se la congettura è vera (o una versione più debole di essa), allora si può "facilmente" dedurre entrambi i teoremi. Le loro prove originali sono molto più difficili.$L$

¹ La congettura afferma che se un polinomio p ha un programma a linea retta (o circuito aritmetico) libero-costante di dimensione τ , il suo numero di radici intere è al massimo ( 1 + τ ) c per una costante assoluta c .$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

È molto nello spirito del documento di Mike Freedman menzionato in precedenza.

sembra che molte domande sulla separazione delle classi di complessità TCS abbiano importanti implicazioni in matematica. la domanda P =? NP in particolare sembra avere connessioni molto profonde in molti campi e questo include la matematica. alcuni casi notevoli in questo settore:

• Il problema di Hilberts Nullstellensatz, formulato all'inizio del XX secolo, ha dimostrato di avere una trattabilità strettamente correlata alla complessità P vs NP, ad esempio in ON L'INTRATTABILITÀ DI NULLSTELLENSATZ DI HILBERT E UNA VERSIONE ALGEBRAICA DI “NP ̸ = P?” Di Shub / Smale. questa è un'area di studio continua, ad esempio in Computer Algebra, Combinatorics e Complexity: Hilbert's Nullstellensatz e NP-complete Problems by Margulies.

• Teorema di Fagins (wikipedia):

  Il teorema di Fagin è il risultato di una teoria della complessità descrittiva che afferma che l'insieme di tutte le proprietà esprimibili nella logica esistenziale del secondo ordine è precisamente la classe di complessità NP. È notevole poiché è una caratterizzazione della classe NP che non invoca un modello di calcolo come una macchina di Turing.

  l'implicazione maggiore / sorprendente di P = NP qui significherebbe che tutte le asserzioni logiche del secondo ordine potrebbero essere calcolate in modo efficiente.

• un altro caso è che ci sono vari problemi NP completi dichiarati principalmente solo in termini matematici (ad esempio nessun riferimento a concetti TCS come TM, non determinismo ecc.). questo elenco potrebbe essere molto ampio se la teoria dei grafi è (abbastanza ragionevolmente) considerata matematica. tuttavia anche interpretazioni ristrette di "matematiche" portano a casi, ad esempio nella teoria dei numeri.

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • C'è un problema naturale sui naturali che è NP-completo? tcs.se
  • teoria dei numeri e NP mathoverflow completo