Equivalenza del controllo di fattibilità e ottimizzazione per sistemi lineari

Un modo per dimostrare che verificare la fattibilità di un sistema lineare di disuguaglianze è difficile quanto la programmazione lineare è attraverso la riduzione data dal metodo ellissoide. Un modo ancora più semplice è indovinare la soluzione ottimale e introdurla come un vincolo tramite la ricerca binaria.

Entrambe queste riduzioni sono polinomiali, ma non fortemente polinomiali (cioè dipendono dal numero di bit nei coefficienti delle disuguaglianze).

C'è una forte riduzione polinomiale dall'ottimizzazione LP alla fattibilità LP?

ds.algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
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in realtà no. È come dici tu. Mi rendo conto che l'ottimizzazione del LP risolve la fattibilità del LP. Sto chiedendo la riduzione opposta.

— Suresh Venkat,

Bene, l'output per l'ottimizzazione può avere tanti bit quanti "il numero di bit nei coefficienti", mentre la fattibilità è sì / no. Quindi, se per riduzione intendi qualcosa di "scatola nera", allora la risposta deve essere negativa.

— Noam,

Ma, se il controllo di fattibilità non fornisce solo una risposta sì / no come discusso in precedenza da Noam, ma piuttosto nel caso della fattibilità fornisce una soluzione fattibile, allora la risposta è sì, per dualità LP.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

@SureshVenkat: Supponiamo che il primal sia un programma di massimizzazione nelle variabili

, con il doppio che sia quindi un programma di minimizzazione nelle variabili

. Quindi forma il sistema di disuguaglianze nelle variabili

, prendendo i vincoli sia dal primario che dal doppio, insieme a una disuguaglianza che afferma che il valore della soluzione primaria è almeno il valore della soluzione doppia. Si possono anche trattare i casi in cui l'LP è impossibile e illimitato.

x

$x$

y

$y$

x, y

$x,y$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

Che dire di politopi / poliedri definiti da vincoli impliciti?

— Chandra Chekuri,

La risposta è sì, e in effetti si può persino ridurre al problema decisionale la fattibilità delle disuguaglianze lineari!

$\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$

$S=\{Bz \leq d\}$

La riduzione ora procede come segue:

$S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
$\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
Prova se $S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
$S_1$ $S_2$ $S_2$ $S_3$ $S_3$
$S_3$ $x$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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S_{2}

$S_2$

P

$P$

@hengxin. Scrive nella prima riga della mia risposta che la risposta è sì anche quando si considera di ridurre il problema decisionale. Di seguito ovviamente faccio questo presupposto, e quindi sono richiesti i passaggi 4 e 5.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,