Espressioni a larghezza di cricca con profondità logaritmica

Quando ci viene data una scomposizione ad albero di un grafico con larghezza w , ci sono diversi modi in cui possiamo renderlo "piacevole". In particolare, è noto che è possibile trasformarlo in una decomposizione dell'albero in cui l'albero è binario e la sua altezza è O ( log n ) . Ciò può essere ottenuto mantenendo l'ampiezza della decomposizione al massimo 3 w . (Vedi ad esempio "Algoritmi paralleli con speedup ottimale per la larghezza degli alberi limitata", di Bodlaender e Hagerup). Quindi, la profondità logaritmica è una proprietà di una decomposizione dell'albero che possiamo ottenere quasi gratuitamente.$G$$w$$O(\log n)$$3w$

La mia domanda è se esiste un risultato simile per la larghezza della cricca, o forse un controesempio. In altre parole, data un'espressione di larghezza della cricca per usando k etichette, esiste sempre un'espressione di larghezza della cricca dell'altezza O ( log n ) per G , che utilizza al massimo le etichette f ( k ) ? Qui, l'altezza è definita naturalmente come l'altezza dell'albero di analisi dell'espressione larghezza cricca.$G$$k$$O(\log n)$$G$$f(k)$

Se non si conosce un'affermazione simile alla precedente, esiste un esempio di un grafico -vertex G con larghezza della cricca piccola k , in modo tale che l'unico modo per costruire G con etichette f ( k ) sia utilizzare un'espressione con grande profondità?$n$$G$$k$$G$$f(k)$

Dopo un po 'ho trovato una risposta in letteratura, quindi la sto pubblicando qui nel caso sia utile a qualcun altro.

È infatti possibile riequilibrare le espressioni di larghezza della cricca in modo che abbiano una profondità logaritmica. Il risultato è riportato nel documento "Operazioni sui grafici che caratterizzano la larghezza del rango e le espressioni grafiche bilanciate" di Courcelle e Kanté, WG '08. Cito Teorema 4.4 dall'articolo:

$k$$k \times 2^{k+1}$

Il problema è che il numero di etichette aumenta esponenzialmente nel bilanciamento. Sembra che per la larghezza della cricca non sia attualmente noto alcun risultato migliore. Lo stesso documento fornisce un risultato simile con solo un aumento costante della larghezza del rango, ma ciò non aiuta, poiché la differenza tra larghezza della cricca e larghezza del rango può essere esponenziale nel peggiore dei casi.