Qual è la più piccola macchina di Turing dove non si sa se si ferma o no?

31

So che il problema dell'arresto è indecidibile in generale, ma ci sono alcune macchine di Turing che ovviamente si fermano e alcune che ovviamente no. Di tutte le possibili macchine da banco qual è la più piccola in cui nessuno ha una prova se si ferma o no?

halting-problem

— Aaron
fonte

10

La risposta dipende dalle specifiche del modello della macchina (numero di simboli, ecc.). Secondo l'articolo di Wikipedia su Busy Beaver c'è una macchina a 5 simboli a 2 simboli che non si sa se si ferma o no.

— Kaveh,

1

Si noti che la domanda di Aaron non riguarda la decidibilità di una determinata lingua, ma in realtà l'esistenza di una prova che una specifica macchina di Turing si ferma. Per qualsiasi macchina Turing, il "suo" problema di arresto (indipendentemente dal fatto che questa macchina si arresti sull'input vuoto) è "decidibile": è Sì o No, ed entrambe le lingue {Sì} e {No} sono decidibili. Questo è molto diverso dal fatto che si abbia una prova che la macchina si ferma o no. Aaron, se intendi "qual è la più piccola in modo che la lingua fermi su sia indecidibile", puoi per favore modificare la tua domanda?

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— Michaël Cadilhac,

1

@ MichaëlCadilhac Il problema di arresto viene generalmente interpretato come "Dato una macchina e un input , ferma per l'input ?" non "Data una macchina , ferma per tutti gli ingressi?"

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— David Richerby,

@DavidRicherby: Per me, il problema dell'arresto è il linguaggio della macchina (codici) che si ferma sull'input vuoto. Se non è il significato previsto qui, penso che dovrebbe essere specificato per dissipare la possibile (ok, mia) confusione.

— Michaël Cadilhac,

molteplici modi di studiare il problema sono validi e correlati e c'è davvero una sottigliezza nel distinguerli che l'interrogante non ha fatto.

— vzn,

38

Le più grandi macchine di Turing per le quali è decidibile il problema di arresto sono:

$TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ (dove è l'insieme di macchine di Turing con stati e simboli ). $TM(k,l)$ $k$ $l$

La decidibilità di e è al limite ed è difficile stabilirsi perché dipende dalla congettura di Collatz che è un problema aperto. $TM(2,4)$ $TM(3,3)$

Vedi anche la mia risposta su cstheory su macchine Turing simili a Collatz e " Piccole macchine Turing e concorrenza generalizzata sui castori indaffarati " di P. Michel (2004) (in cui si ipotizza che anche sia decidibile). $TM(4,2)$

Il commento di Kaveh e la risposta di Mohammad sono corretti, quindi per una definizione formale delle macchine Turing standard / non standard utilizzate in questo tipo di risultati vedere Turlough Neary e Damien Woods lavorano su piccole macchine universali di Turing, ad es. La complessità delle piccole macchine universali di Turing: un sondaggio (le Rule 110 TM sono debolmente universali).

— Marzio De Biasi
fonte

2

Il problema di arresto per un determinato set finito di macchine di Turing non è sempre decidibile? Poiché in ci sono solo finitamente molte macchine , deve essere possibile costruire una tabella di ricerca che indichi correttamente quali macchine si fermano e quali no, e quindi deve esserci una macchina di Turing che utilizza questa tabella di ricerca per rispondere correttamente alla domanda.

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

— Tanner Swett,

2

@TannerSwett: qui consideriamo il set di arresto o, in altre parole, per cui le macchine di Turing è decidibile (vedi l'articolo di Michel).

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

— Marzio De Biasi,

32

Vorrei aggiungere che ci sono alcune macchine di Turing per le quali il problema di Halting è indipendente da ZFC.

Ad esempio, prendi una macchina Turing che cerca una prova di contraddizione in ZFC. Quindi se ZFC è coerente, non si fermerà, ma non è possibile dimostrarlo in ZFC (a causa del secondo teorema di incompletezza di Gödel).

Quindi non si tratta solo di non aver ancora trovato una prova, a volte non esistono nemmeno prove.

— Denis
fonte

ZFC? Cosa significa ZFC? Non riesco proprio a capirlo dal contesto.

— Acapulco,

7

@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Nikolov

Lol! ok. Mi è stato risolto. Touché. Non pensavo che sarebbero state le iniziali a riferirsi immediatamente e in modo univoco a questo argomento. In ogni caso, non penso che faccia male aggiungere un chiarimento "ZFC (teoria degli insiemi Zermelo – Fraenkel)" la prima volta che viene menzionato, anche per evitare ambiguità nel caso ci fosse? :)

— Acapulco,

16

@Acapulco, consulta il tour e il centro assistenza . Qualsiasi teorico informatico saprebbe cosa rappresenta ZFC, quindi non c'è davvero bisogno di un chiarimento.

— Kaveh,

1

In particolare, nota le macchine a simboli recentemente scoperte con problema di arresto indipendente dalla ZFC, discusse qui (7918 stati), qui e qui (stati del 1919). È quasi certo che il numero di stati diminuirà ulteriormente.

2

$2$

— res

5

Nessuno ha una prova se la macchina di Turing universale si ferma o meno. In effetti, tale prova è impossibile a causa dell'indecidibilità del problema di Halting. La più piccola è una macchina Turing universale a 2 simboli a 3 stati che è stata trovata da Alex Smith per la quale ha vinto un premio di $ 25.000.

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

4

Si noti, tuttavia, che, secondo la pagina di Wikipedia citata, la prova dell'universalità è contestata. Inoltre, questo non è il modello standard delle macchine Turing: la presunta macchina universale non ha uno stato di arresto, quindi non può simulare alcuna macchina che si ferma, almeno nel senso standard di ciò che fa una macchina Turing universale.

— David Richerby,

2

@DavidRicherby: penso che l' universalità debolmente della regola 110 sia abbastanza accettata: richiede due parole diverse ripetute a sinistra e a destra dell'ingresso, e la condizione di arresto è la generazione di un aliante speciale (generato se e solo se la macchina simulata si arresta). Vedi "Universalità negli automi cellulari elementari" di Matthew Cook.

— Marzio De Biasi,

-4

una domanda generale inesatta ma ragionevole che può essere studiata in diversi modi tecnici specifici. ci sono molte macchine "piccole" misurate da stati / simboli dove l'arresto è sconosciuto ma nessuna macchina "più piccola" è possibile a meno che non si ottenga qualche metrica giustificabile / quantificabile della complessità di una MT che tenga conto sia degli stati che dei simboli (apparentemente nessuno ne ha proposto uno finora).

in realtà la ricerca su questo problema relativo a Busy Beavers suggerisce che ci sono molte macchine "piccole" che giacciono su una curva iperbolica in cui , stati e simboli, sono piccoli. in effetti sembra essere una transizione / confine di fase generale tra problemi decidibili e indecidibili. $x \times y$ $x$ $y$

questo nuovo articolo Problemi nella teoria dei numeri da una competizione di castori indaffarati del 2013 da Michel, un'autorità leader mostra molti di questi casi per bassi e mostra la connessione a sequenze teoriche di numeri generali simili alla congettura di Collatz. $x,y$

— VZN
fonte

2

Non è necessario stabilire una metrica tenendo conto dei simboli e degli stati. Una volta che ci sono due simboli sul nastro, è chiaro che il problema dell'arresto è indecidibile per quasi tutti i numeri di stati - come ricordo, è possibile scrivere una TM universale con solo cinque stati. Se conoscessimo il limite esatto della decidibilità, sono sicuro che sarebbe facile descriverlo in termini di coppie (# stati, # simboli).

— David Richerby,

la ricerca di castori indaffarati comporta in effetti la ricerca di prove per stabilire se le TM si fermano per configurazioni iniziali con un piccolo numero di stati, simboli; ci sono casi risolvibili. se si desidera il "più piccolo", è necessario creare una metrica precisa che misura "piccolo". il punto precedente è che una metrica che coinvolge solo stati o simboli da soli può essere considerata fuorviante nella misura in cui rappresenta il confine noto che coinvolge entrambi (e macchine che non sono conosciute come universali). il confine di indecidibilità in questa ricerca non è "facile" da specificare in termini di qualcosa, questa è la sua natura fondamentale ....

— vzn

1

Nessuno ha proposto una metrica basata solo su #stati o solo # simboli. E il confine (# stati, # simboli) è banale da descrivere. Per uno stato, è decidibile. Per stati, è decidibile per alfabeti di dimensioni al massimo , dove , , sono costanti sconosciute. Per cinque stati, è indecidibile (tranne, forse, per alfabeti di dimensione 1). Descrivere il confine è banale; l'unica parte non banale è capire i valori di , , .

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$

k_{i}

$k_i$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

— David Richerby,

finora nessuno ha proposto alcuna metrica. nessun confine importante in quest'area è "banale da descrivere" e ci si aspetterebbe che lo scenario sarebbe impossibile tramite Rices thm. questo sembra mostrare una mancanza di familiarità con la ricerca e il riferimento citato che è interessato alla risolvibilità degli input per macchine che sono più piccole di quelle note per essere universali (e si presume che non siano universali). i tuoi commenti sembrano concentrarsi sui confini della macchina universale e non universale che non è lo stesso dei confini di decidibilità del castoro indaffarato che vengono esplorati, ad esempio nei riferimenti citati (sia sopra che su Marzio).

— vzn,

Il fatto che l'ho appena descritto in un commento di Stack Exchange non implica che sia banale descriverlo? Il punto circa l'universalità è che dà limiti superiori per il confine: se è possibile implementare una macchina universale con stati e simboli, il problema della terminazione per -Stato, TM -simbolo è chiaramente indecidibile.

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

— David Richerby,