Conseguenze di NP = PSPACE

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Quali sarebbero le brutte conseguenze di NP = PSPACE? Sono sorpreso di non aver trovato nulla al riguardo, dato che queste classi sono tra le più famose.

In particolare, avrebbe conseguenze sulle classi inferiori?

cc.complexity-theory complexity-classes conditional-results

— Denis
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4

Un corollario immediato, o piuttosto una riformulazione dell'identità: il verificatore non avrebbe mai bisogno di rispondere al prover, mai!

— Alessandro Cosentino,

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Se , ciò implicherebbe: $\mathsf{NP} = \mathsf{PSPACE}$

Cioè, contare le soluzioni a un problema in sarebbe polifunzionale riducibile alla ricerca di un'unica soluzione; $\mathsf{P^{\#P}} = \mathsf{NP}$
$\mathsf{NP}$
Cioè, algoritmi randomizzati a tempo polinomiale con probabilità di successo arbitrariamente vicini a 1/2 è tempo polinomiale riducibile a algoritmi randomizzati a tempo polinomiale con errore unilaterale, dove le istanze SÌ sono accettate con probabilità arbitrariamente piccola; $\mathsf{PP} = \mathsf{NP}$
Cioè, per qualsiasi problema verificabile nel tempo polinomiale, la randomizzazione fornisce al massimo uno speedup polinomiale (ma questo è solo un corollario del collasso della gerarchia del tempo polinomiale); $\mathsf{MA} = \mathsf{NP}$
Ovvero, qualsiasi problema risolvibile da un computer quantistico ha facilmente verificato i certificati per le sue risposte; questo sarebbe un importante risultato positivo nella filosofia della meccanica quantistica, e probabilmente sarebbe utile allo sforzo di costruire computer quantistici (per verificare che stiano facendo quello che dovrebbero fare). $\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{NP}$

Tutti questi sono dovuti al contenimento delle classi sul lato sinistro in (anche se abbiamo anche ). $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{BQP \subseteq PP}$

— Niel de Beaudrap
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1

Si può puntare a un punto di riferimento dove

implica che

. Grazie

N P = P S P A C E

${\bf NP} = {\bf PSPACE}$

B Q P \subseteq N P

${\bf BQP} \subseteq {\bf NP}$

— Tayfun paga il

2

@TayfunPay Che, fondamentalmente, desidera un riferimento per

. Il riferimento per questo è BV97 . Tuttavia, è anche possibile dimostrare che

. Vedi la seguente lezione per intuizione su questo: scottaaronson.com/democritus/lec10.html

B Q P \subseteq P S P A C E

$\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{PSPACE}$

B Q P \subseteq P P

$\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{PP}$

— Alessandro Cosentino

2

@AlessandroCosentino Sì, sapevo che

e che

. Immagino che dovessi solo essere indicato per scuotere la mia memoria! Grazie! :)

B P P \subseteq B Q P \subseteq P P \subseteq P S P A C E

${\bf BPP} \subseteq {\bf BQP} \subseteq {\bf PP} \subseteq {\bf PSPACE}$

N P \subseteq P P \subseteq P S P A C E

${\bf NP} \subseteq {\bf PP} \subseteq {\bf PSPACE}$

— Tayfun paga il

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Un punto che è stata implicitamente ma non esplicitamente menzionato ancora è che otterremmo . Anche se questo equivale a collassa a , deriva direttamente dal fatto che $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSPACE}$ è chiuso sotto complemento, il che è banale da dimostrare.

Penso che valga la pena sottolineare da solo a causa del gran numero di conseguenze sorprendenti che ha: ci sono brevi prove che testimoniano quando un grafico non è tricolore, * non- * Hamiltoniano, quando due grafici sono * non- * isomorfi, ... e (in un certo senso più in generale) che esiste un sistema di prova Cook-Reckhow in cui ogni tautologia proposizionale ha una prova polinomiale. $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

— Joshua Grochow
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12

Se ${\bf NP} = {\bf PSPACE}$

1) La Gerarchia Polinomiale collasserebbe a ${\bf NP }$ .

2) Ora avremo quel poiché sappiamo che ${\bf NP } \not ={\bf NL}$ ${\bf PSPACE} \not = {\bf NL}$

---AGGIORNARE---

3) E 'noto che , dove sono lo spazio logaritmico delimitate versioni di , e rispettivamente. Per definizione nessuna di queste classi di complessità potrebbe essere uguale sotto l'ipotesi che . ${\bf NL} \subseteq {\bf C_=L} \subseteq {\bf PL}$ ${\bf NP}$ ${\bf C_=P}$ ${\bf PP}$ ${\bf NP}$ ${\bf NP} = {\bf PSPACE}$

— Tayfun Pay
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1

Queste sono conseguenze insignificanti dopo PH

PSPACE e NL

PSPACE, speravo in conseguenze più sorprendenti, per esempio qualcosa tra NL e P, o qualsiasi nuova relazione tra due classi "rigorosamente" sotto NP.

\subseteq

$\subseteq$

\neq

$\neq$

— Denis,

1

Si noti che se si considera la NL come la classe di lingue che hanno soluzioni che possono essere verificate nello spazio di log, anche se ogni simbolo della soluzione viene letto al massimo una volta (anche se logaritmicamente molti possono essere memorizzati sul nastro di lavoro in qualsiasi momento) , il fatto che differisca da NP indica che esiste una classe L ' che è un parente di L , che coinvolge le macchine di Turing con due nastri di input ma dove uno viene letto una volta e l'altro no, e che è diverso da P ( dove poiché uno ha uno spazio polinomiale sul worktape, le limitazioni di input read-once non contano).

— Niel de Beaudrap,

1

@dkuper Si avrebbe anche

, dove

è lo spazio delimitato versione logaritmica di

così come

, dove

è lo spazio logaritmico versione del delimitata

.

P L \neq N P

${\bf PL} \not = {\bf NP}$

P L

${\bf PL}$

P P

${\bf PP}$

# L \neq N P

${\bf \#L} \not = {\bf NP}$

# L

${\bf \#L}$

# P

${\bf \#P}$

— Tayfun paga il

1

@dkuper see math.ucdavis.edu/~greg/zoology/diagram.xml

— Tayfun Pay

1

@TayfunPay: (1) perché non modifichi la tua risposta per includere le relazioni del tuo commento? (2) Come si tengono?

— Niel de Beaudrap,

10

Oltre ai risultati indicati in tutte le altre risposte, ce n'è uno che coinvolge Interactive Proof Systems ( ), che sono la generalizzazione ${\bf IP}$ ${\bf NP}$ cui Verifier e Prover si scambiano messaggi per riconoscere una lingua.

È noto che , quindi se , significa che è sufficiente un solo messaggio! Per me il risultato più impressionante di questo risultato è che il verificatore non avrebbe bisogno di sfidare il Prover e di potersi fidare del primo messaggio da lei inviato. ${\bf IP = PSPACE}$ ${\bf NP = PSPACE}$

— Alex Grilo
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Potrebbe comunque dipendere dall'implementazione? Significa che ci sarebbero ancora dimostratori interattivi che necessitano di più scambi, solo che ne esistono altri con un solo messaggio per la stessa lingua.

— Denis

Bene, significherebbe che un messaggio è sufficiente. Se ho capito correttamente la tua domanda, è lo stesso per i problemi in P: anche se ci sono algoritmi temporali polinomiali per loro, si può ancora creare un algoritmo temporale esponenziale.

— Alex Grilo,

2

@AlexGrilo: da qui il mio commento sotto la domanda :)

— Alessandro Cosentino,

@AlessandroCosentino Siamo spiacenti, non l'ho mai visto prima

— Alex Grilo,