Categorie algebricamente compatte

Ho letto l'articolo di Alydbraically Complete Categories di Freyd nel famoso Como90 e ho due domande sulla nozione di compattezza algebrica che ha definito in quell'articolo. (Se non si ha familiarità con la definizione, eccola qui: una categoria è chiamata algebricamente compatta se ogni endofunctor ha un'algebra iniziale e una co-algebra finale che sono canonicamente isomorfe.)

Quali sono alcuni esempi di categorie algebricamente compatte? Freyd cita un esempio, ma a rigor di termini la condizione nella definizione vale solo per alcuni endofunctor di interesse. Dalla lettura di altri articoli (come "Programmazione funzionale con banane, obiettivi, buste e filo spinato") immagino che la categoria di cpo, omega-cpo o categorie arricchite su (omega) cpo siano algebricamente compatte. Qual è il riferimento standard per questo fatto?
Freyd afferma che la definizione è motivata dal "principio della versalità" e, essendo un madrelingua non inglese, sono confuso. Prima di tutto, penso che dovrebbe essere principio, non principale. Cos'è anche la versalità? Intende versatilità? È un gioco basato su parole come (uni) versality?

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— sonat
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Non essendo un esperto in "Categorie algebricamente complete", non voglio farne una risposta, ma essendo un madrelingua inglese ... sul tuo n. 2, "principal" sembra essere un errore di battitura completo, soprattutto perché abusa la parola di nuovo, ma in un diverso contesto grammaticale, anche nella frase seguente. Avrebbe dovuto usare il "principio". D'altra parte, "versalità" - dalla parola "versal" - è un accorciamento (arcaico) di "universalità" / "universale". Ora, non sono uno che discute con un autore NAMING cose, ma // sembra // intendeva dire "Principio di universalità"

— Daniel Apon,

Consentitemi di modificare quanto sopra: "versalità" può avere una definizione formale distinta da "universalità" nel vostro contesto; per favore controlla questo. :) Ad esempio, vedi l'appendice di arxiv.org/pdf/1109.6093v4.pdf

— Daniel Apon,

Sono d'accordo che "versal" non è lo stesso di "universale". Ad esempio, esiste la nozione di deformazione versale nella teoria della singolarità, approssimativamente significa che tutte le possibili deformazioni sono incluse, ma forse non in modo univoco, cioè possono verificarsi più volte.

— მამუკა ჯიბლაძე

Penso che sia particolarmente importante distinguerli nell'informatica. Per esempio. per la maggior parte degli insiemi enumerabili, ogni possibile enumerazione colpisce infinitamente molti elementi dell'insieme infinitamente molte volte. Le enumerazioni one-to-one (" uni versal") sono rare.

— მამუკა ჯიბლაძე

Ho trovato il riferimento per le categorie simili a CPO. L'articolo di Scott Continuous Lattices nel libro Toposes, Algebraic Geometry and Logic . È spiegato nei commenti subito dopo il corollario 4.3. Un teorema più generale può essere trovato nel documento di Smyth e Plotkin sulla soluzione teorica di categoria delle equazioni del dominio ricorsivo . È il lemma 2.

Tuttavia, ancora una volta, i funzioni non sono arbitrari. Uno ha bisogno di una sorta di ipotesi di continuità.

— sonat
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