Problemi facili su grafici non ponderati, ma difficili per grafici ponderati

Molti problemi di grafici algoritmici possono essere risolti in tempi polinomiali sia su grafici non ponderati che ponderati. Alcuni esempi sono il percorso più breve, l'albero di spanning minimo, il percorso più lungo (nei grafici aciclici diretti), il flusso massimo, il taglio minimo, la corrispondenza massima, l'arborescenza ottimale, alcuni problemi dei sottografi più densi, i tagli diretti più disgiunti, la cricca massima in alcune classi di grafici, il massimo indipendente impostato in determinate classi di grafici, vari problemi di percorso disgiunto massimo, ecc.

Vi sono, tuttavia, alcuni (sebbene probabilmente un numero significativamente inferiore) di problemi che sono risolvibili in tempi polinomiali nel caso non ponderato , ma diventano difficili (o hanno uno stato aperto) nel caso ponderato . Ecco due esempi:

1. Dato il grafico completo $n$ -vertex e un intero , trova un sottografo con estensione -connected con il numero minimo possibile di bordi. Questo è risolvibile in tempo polinomiale, usando un teorema di F. Harary, che racconta la struttura dei grafici ottimali. D'altra parte, se i bordi sono ponderati, trovare il sottografo di spanning con connessione peso minimo è -hard.k k N $k\geq 1$$k$$k$$NP$

2. Un recente articolo (dicembre 2012) di S. Chechik, MP Johnson, M. Parter e D. Peleg (vedi http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf ) considera, tra le altre cose, un problema di percorso chiamare il percorso di esposizione minimo. Qui si cerca un percorso tra due nodi specificati, in modo tale che il numero di nodi sul percorso, più il numero di nodi che hanno un vicino sul percorso sia minimo. Dimostrano che nei grafici dei gradi limitati questo può essere risolto in tempo polinomiale per il caso non ponderato, ma diventa -hard nel caso ponderato, anche con il limite di gradi 4. (Nota: il riferimento è stato trovato come risposta alla domanda Cosa è la complessità di questo problema di percorso? )$NP$

Quali sono alcuni altri problemi interessanti di questa natura, vale a dire quando il passaggio alla versione ponderata provoca un "salto di complessità?"

Nel mondo degli algoritmi di approssimazione c'è il problema della copertura del vertice condensato. Dato e capacità intere c ( v ) per ogni v ∈ V l'obiettivo è trovare una copertura del vertice di dimensioni minime per G dove il numero di spigoli coperti da v sia al massimo c ( v ) . Questo problema ha un'approssimazione di fattore costante nel caso non ponderato (ovvero, vogliamo ridurre al minimo le dimensioni della copertura del vertice) mentre è Ω ( log n ) -hard (a meno che$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$ ) nel caso ponderato (ogni vertice ha un peso w ( v ) e vogliamo ridurre al minimo il peso del coperchio).$P = NP$$w(v)$

Il mio esempio preferito è il problema della dominazione indipendente (dato il grafico e l'intero k , G ha un set indipendente massimo-inclusione al massimo di k vertici?). Con un bel risultato grazie a Martin Farber ( vedi qui ), la versione non ponderata è polinomialmente risolvibile nei grafici cordali. Gerard Chang dimostra che la versione ponderata è NP-completa per i grafici cordali ( vedi qui ).$G$$k$$G$$k$

Il problema di corrispondenza perfetta nei grafici bipartiti è in mentre la corrispondenza perfetta con il peso esatto del grafico bipartito è N P - Completo .$P$$NP$

In seguito alla risposta di Mohammad Al-Turkistany, sembra che molti dei problemi non ponderati risolvibili in tempo polinomiale potrebbero essere trasformati in nel caso ponderato, se chiediamo se esiste una soluzione che abbia esattamente un determinato peso. Il motivo è che ciò può consentire di codificare il problema della somma del sottoinsieme nell'attività considerata.$NP$

Ad esempio, nel caso di Corrispondenza perfetta peso esatto, possiamo prendere come input un grafico bipartito completo, assegnando pesi specifici ai bordi di una corrispondenza specifica e peso 0 a tutti gli altri bordi. È facile vedere che questo grafo pesato ha una perfetta corrispondenza di peso esattamente se e solo se esiste un sottoinsieme dei pesi che somme esattamente W . (Se esiste un sottoinsieme di questo tipo, allora possiamo prendere i bordi corrispondenti dalla corrispondenza fissa ed estenderlo a una corrispondenza perfetta con bordi a peso 0, usando che è un grafico bipartito completo.) Penso, un semplice trucco simile potrebbe funzionare anche per una serie di altri problemi.$W$$W$

Il bilanciamento del grafico (noto anche come Orientamento minimo al di fuori del grado) è un altro esempio di questo fenomeno. In questo problema ci viene fornito un grafico ponderato non orientato ai bordi. L'obiettivo è orientare i bordi in modo da ridurre al minimo il massimo grado di fuoriuscita (pesato) del digraph risultante.

Il problema è spesso motivato da uno scenario di pianificazione. Immagina che ogni vertice sia un processore e che ogni fronte sia un lavoro che può essere eseguito solo su uno dei suoi due endpoint. Il peso di un bordo è la lunghezza del lavoro corrispondente e l'obiettivo è ridurre al minimo il tempo di posa.

Il problema è NP-hard e APX-hard, anche se tutti i pesi sono 1 o 2 (vedere Ebenlendr et al. "Bilanciamento del grafico: un caso speciale di pianificazione di macchine parallele non correlate" in SODA 2008). È comunque in P per i grafici non ponderati (vedi Asahiro et al. "Classi di grafi e complessità dell'orientamento dei grafici che minimizza il massimo grado di superamento" in CATS 2008).

Forse questo è solo un esempio banale e potresti considerarlo un caso degenerato, ma il primo esempio che mi è venuto in mente è il Problema del commesso viaggiatore (dove di solito si presume che il grafico sia completo). Si noti che la versione non ponderata è Hamiltonian Cycle, che è banale per i grafici completi.

Trovare il percorso di costo minimo sotto il vincolo del ritardo (noto anche come problema del percorso più breve vincolato) sembra adattarsi qui.

Supponiamo di avere un grafico , una funzione di ritardo d : V → N + , una funzione di costo c : → N + , un numero D ∈ N + e due vertici s , t $G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

Il problema è trovare il costo minimo percorso, in modo tale che il ritardo del percorso non più di$s-t$$D$

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

Se il problema è ponderato, diventa il Percorso più breve vincolato , che è noto per essere NP completo anche sui DAG.

Il problema Local Max Cut con il vicinato FLIP è PLS completo nei grafici generali ponderati interi.

AA Schaeffer e M. Yannakakis. (1991). Semplici problemi di ricerca locale che sono difficili da risolvere. SIAM Journal on Computing, 20 (1): 56-87.

Tuttavia, se il peso maggiore è polinomiale nella dimensione del grafico, i miglioramenti locali al potenziale (peso di un taglio) convergeranno nel tempo polinomiale, poiché ogni miglioramento aumenterà la potenziale funzione di almeno uno e la potenziale funzione è limitato polinomialmente. (Con pesi generali, trovare una soluzione raggiungibile con miglioramenti locali da uno specifico taglio iniziale è completo di PSPACE.)

Una cosa simile accade anche in altri "giochi potenziali".

Il commesso viaggiatore è aperto sui grafici a griglia venduti, ma il ciclo di Hamilton (la variante non ponderata) è noto per essere polinomiale.

Discussione di entrambi sul progetto problemi aperti:

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

Su 2K_1-free Il taglio massimo è polinomiale e il taglio massimo ponderato è NP-completo.