Colorazione grafica che riduce al minimo il numero di colori in ogni set indipendente

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È nota la seguente affermazione?

Reclamo : per ogni grafico con vertici esiste una colorazione di tale che ogni set indipendente è colorato al massimo da colori. $G$ $n$ $G$ $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— Igor Shinkar
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La seguente affermazione mi è nota, ma potrebbe non valere perché non pubblicata: qualsiasi grafico su vertici può essere colorato in modo tale che qualsiasi sottoindice indotto del numero cromatico al massimo usi al massimo colori, dove . $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

Questa è una prova per induzione; la motivazione era quella di considerare i coloranti che usano pochi colori non solo sul grafico ma anche su tutti i sottografi indotti. Non sono a conoscenza di alcun risultato pubblicato, comunque.

— Aravind
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Non proprio quello che chiedi, ma ecco un limite inferiore: un grafico per il quale qualsiasi colorazione risulterà in un set indipendente colorato da colori: $\sqrt{n}$

Prendere copie di , e collegare tutti i vertici ad un unico vertice . $\sqrt{n}$ $K_{\sqrt{n}}$ $s$

Ovviamente, ogni set di vertici di di differenti è indipendente e in ogni copia di puoi trovare almeno un "nuovo" colore. $\sqrt{n}$ $K$ $K_{\sqrt{n}}$

Questo limite inferiore può essere facilmente migliorato a o giù di lì se colleghiamo a un singolo vertice, ma rimane solo i colori . $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
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Il secondo esempio non sembra migliorare il limite. Penso che qualsiasi IS possa essere colorato usando . Ad esempio, per n = 9, è colorato di blu, di verde e rosso e di blu, verde e rosso. Ogni IS massimo è colorato di 2 colori, non 3.

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669,

Non sono sicuro di cosa intendi. Il secondo esempio migliora il limite, ma non asintoticamente. Puoi costruire un IS colorato di dimensioni ~ usando il vertice di , il vertice di con un colore diverso e così via (da prenderemo un vertice colorato di un colore che non esiste ancora in nostro IS). E questo vale per ogni colorazione di .

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

— RB,

Inoltre, nel tuo esempio, l'IS che include il vertice blu di , il verde di e il rosso di è colorato di 3 colori.

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— RB,

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@RB grazie per l'esempio. il tuo secondo grafico fornisce un limite inferiore approssimativamente , questo è il numero tale che .

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

— Igor Shinkar,

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E la seguente prova? Se , il reclamo vale ovviamente. Supponi il contrario e lascia che sia un insieme indipendente di con massima cardinalità . Colora con il colore 1 e colora ricorsivamente il grafico con i colori . Ora, se è un insieme indipendente di , considero . Per ipotesi di induzione, è colorato con al massimo colori, e quindi è colorato con al massimo $\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ colori; la disuguaglianza si basa sul presupposto che . $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Super8
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1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$ , ma questa prova può probabilmente essere modificata per mostrare che per qualsiasi qualsiasi IS è colorato al massimo colors. In ogni caso, questa è una richiesta di riferimento, non una richiesta di prova.

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

— user15669,

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In effetti, la prova dovrebbe funzionare sostituendo con . Chiedo scusa per aver perso la parte "richiesta di riferimento", ma questo risultato non dovrebbe essere considerato folklore? A proposito, sono la stessa persona di cui sopra ma ho bisogno di trovare un modo per consolidare i miei diversi profili, probabilmente dovrei chiedere questo su meta.cstheory.stackexchange.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

— Super0,

(sulla richiesta di unione del profilo) meta è un buon posto per pubblicare tale richiesta.

— Suresh Venkat,