Complessità nel conteggio del numero di copertine dei bordi di un grafico

Una copertina di bordo è un sottoinsieme di bordi di un grafico in modo tale che ogni vertice del grafico sia adiacente ad almeno un bordo della copertina. I seguenti due giornali dicono che il conteggio coperture bordo è #P Completa: A Simple FPTAS per il conteggio Copertine bordo e coperture Generazione Edge of grafici Path . Tuttavia, a meno che non mi sia perso qualcosa, non forniscono un riferimento per questa affermazione o una prova. (Il riferimento 3 del primo documento sembrava promettente, ma non ho trovato nemmeno quello che volevo lì.)

Dove posso trovare un riferimento o una prova del fatto che il conteggio del numero di copertine dei bordi di un grafico è # P-completo?

— a3nm
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Risposte:

Non so dove sia stato dimostrato per la prima volta, ma poiché EdgeCover ha un'espressione come un problema Holant di dominio booleano, è incluso in molti teoremi di dicotomia di Holant.

EdgeCover è incluso nel teorema della dicotomia in (1). Il teorema 6.2 (nella versione del diario o il teorema 6.1 nella prestampa) mostra che EdgeCover è # P duro sui grafici planari a 3 regolari. Per vedere questo, l'espressione di EdgeCover come problema di Holant su grafici a 3 regolari è (o sostituisci con contenente 1 per lo stesso problema su $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ $k$ grafici regolari). Questa notazione elenca l'output di una funzione simmetrica in ordine di input Hamming peso. Per alcuni sottoinsiemi degli spigoli impostati (che riteniamo essere assegnati 1 e l'insieme complemento assegnato 0), il vincolo di ciascun vertice è che almeno uno spigolo viene assegnato 1, che è esattamente ciò che la funzione . Per un sottoinsieme fisso di spigoli, il suo peso è il prodotto degli output di $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ ad ogni vertice. Se un vertice non è coperto, contribuisce con un fattore . Se tutti i vertici sono coperti, tutti i vertici contribuiscono con un fattore , quindi anche il peso è . Quindi Holant deve sommare ogni possibile sottoinsieme di bordi e aggiungere il peso corrispondente a ciascun sottoinsieme. Questo valore di Holant è esattamente lo stesso se suddividiamo tutti i bordi e imponiamo il vincolo che entrambi i bordi degli incidenti a questi nuovi vertici devono essere uguali. Usando la notazione della funzione simmetrica, questa funzione di uguaglianza binaria è . Questo grafico è bipartito. I vertici in una parte hanno il $0$ $1$ $1$ $[1,0,1]$ vincolo mentre i vertici nell'altra parte hanno ilvincolo . L'espressione per questo come problema di Holant è . Quindi puoi verificare tu stesso quella riga " " e la colonna " $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ $\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$ $[0,1,1,1]$ "della tabella vicino al teorema sopra citato contiene" H ", il che significa che il problema è # P-difficile anche il grafico di input deve essere planare. $[1,0,1]$

Nota a margine: Nota che Pinyan Lu è un autore sia di questo documento che del primo documento che citi. Immagino che quando il loro articolo dice "contare le copertine dei bordi è un problema # P-completo anche quando limitiamo l'input a 3 grafici regolari", sono state implicitamente citate (1). Probabilmente non hanno menzionato che la durezza vale anche quando ulteriormente limitata ai grafici planari poiché il loro FPTAS non ha bisogno di questa restrizione.

Più tardi i teoremi della dicotomia di Holant, come quelli in (2,3) --- versioni per conferenze e riviste dello stesso lavoro --- si dimostrarono di più. Il teorema 1 (in entrambe le versioni) afferma che EdgeCover è # P-duro su grafici planari planari per . Per vedere questo, dobbiamo applicare una trasformazione olografica. Come descritto sopra, l'espressione per EdgeCover come problema di Holant sui grafici -regolari è , dove contiene $k$ $k \ge 3$ $k$ $\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ 1 di. Inoltre, questo equivale a . Ora applichiamo una trasformazione olografica di $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$ $T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ (o il suo contrario, a seconda della prospettiva). Secondo il teorema di Holant di Valiant (4,5), questo non cambia la complessità del problema (in effetti, entrambi i problemi sono in realtà lo stesso problema perché concordano sull'output di ogni input ... solo l'espressione del problema è cambiata ). L'espressione alternativa per questo problema è

dove è la funzione di uguaglianza attiva

Holant ([1, 0, 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes k} [0, 1, \dots, 1]) = Holant ([2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}] | =_{k}),

$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$

=_{k}

$=_k$

ingressi. Per applicare il Teorema 1, dobbiamo normalizzare

dividendo la funzione originale per

, che non modifica la complessità del problema poiché questo valore è diverso da zero. Quindi i valori

k

$k$

[2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}]

$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$

[2 e^{- π i / k}, 1, e^{π i / k}]

$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$

e^{π i / k}

$e^{\pi i / k}$

X

$X$

Y

$Y$

X = 2

$X = 2$

Y = - 2^{k} - 1

$Y = -2^k - 1$

k \geq 3

$k \ge 3$

k

$k$

k \geq 3

$k \ge 3$

Nota a margine: si può anche vedere questo teorema e prova nella tesi di Michael Kowalczyk .

Continuerò la mia ricerca in letteratura per vedere EdgeCover mostrato prima # (difficile) (1).

(1) Riduzione, interpolazione e durezza olografiche di Jin-Yi Cai, Pinyan Lu e Mingji Xia ( diario , prestampa ).

(2) A Dichotomy for $k$ -Regular Graphs with $\{0,1\}$ -Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.

(3) Partition functions on $k$ -Regular Graphs with $\{0,1\}$ -Vertex Assignments and Real Edge Functions by Jin-Yi Cai and Michael Kowalczyk.

(4) Holographic Algorithms by Leslie G. Valiant

(5) Valiant’s Holant Theorem and matchgate tensors by Jin-Yi Cai and Vinay Choudhary

— Tyson Williams
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Wow, thanks for pointing me to this and for taking the time to explain the vocabulary and connection to edge cover! I agree with you that (1) implicitly proves that EdgeCover is hard (and is hard even for 3-regular planar graphs). I'm also interested to know if anyone proved the #P-hardness of EdgeCover before (1), though I'm already quite happy that I have something to cite if I need to use this result (which was my main concern when asking). Thanks again for your answer!

— a3nm

@Tyson Williams: if you start from a 2-3-regular graph and contract the nodes of the partition of degree 2 then you could end up with a 3-regular multigraph, i.e., with parallel edges. Can this be fixed to show hardness on 3-regular simple graphs? More generally, this question could be asked for all the results on Holant problems, so I created a new question here cstheory.stackexchange.com/q/43912/38111, because I think the issue is not restricted to this particular problem (counting edge covers). I'd be glad if you could take a look :)

— M.Monet

Ah, yes. Good observation. I am unable to remember right now what results there are for simple graphs.

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Thanks for confirming, and no worries! In my community "graph" always means "simple graph" unless stated otherwise, so I hadn't stated it explicitly in the question.

— a3nm

@TysonWilliams: after all, we have found how to get a hardness result on counting edge covers for simple graphs (that are 2-3 regular bipartite and planar) via holographic means. The details are in the latest version of my answer below, and in Appendix D of arxiv.org/abs/1703.03201. We use the hardness of counting vertex covers on 3-regular bipartite planar graphs from xia2006regular: these graphs have no self-loops, we subdivide each edge which removes parallel edges, and cai2008holographic does not create problems. (As for 3-regular graphs, as in your answer, we don't know.)

— a3nm

After some more literature search, it appears that the complexity of counting the edge covers in a graph was shown to be #P-complete in bordewich2008path, Appendix A.1. (This assumes arbitrary graphs as input, i.e., they cannot enforce any assumptions on the input graph, except that they observe that the minimal degree can be made arbitrarily large). (bordewich2008path further indicates that the result is claimed without proof in bubley1997graph.) This result predates those of Cai, Lu, and Xia referenced as (1) in Tyson Williams' answer, and it does not rely on holographic theory.

Specifically, the result relies on the #P-hardness of counting independent sets in 3-regular graphs shown in greenhill2000complexity (improving on the analogous result for graphs of degree at most 4 shown in vadhan1997complexity), and proves the result using the technique of bubley1997graph.

A stronger result, namely, the hardness of counting edge covers in a bipartite graph of degree at most four (further imposing that the edge set can be partitioned into four matchings) was studied independently in khanna2011queries, Appendix B.1, again without holographic tools. They rely on the hardness of counting independent sets in 3-regular bipartite graphs (shown in xia2006regular by a refinement of the interpolation method of vadhan1997complexity) and then they apply a refinement of the technique of bordewich2008path.

An even stronger result (hardness of counting edge covers in a bipartite 2-3 regular graph, i.e., a bipartite graph where all vertices on one side have degree 2 and all vertices on the other side have degree 3, which is additionally planar) can be shown using the results of xia2006regular and cai2008holographic. The explanations for this appear as Appendix D of the latest version of our PODS'17 paper. In this case, we checked rather carefully that the result holds for simple graphs, i.e., for graphs that have neither self-loops nor multi-edges (see the comments to Tyson Williams' answer).

For hardness on planar 3-regular graphs, an argument is given in Tyson Williams' answer, but it would seem that it allows multi-edges and self-loops in the graphs.

References:

bordewich2008path: Magnus Bordewich, Martin Dyer, Marek Karpinski, Path Coupling Using Stopping Times and Counting Independent Sets and Colourings in Hypergraphs, 2008.
bubley1997graph: Russ Bubley, Martin Dyer, Graph orientations with no sink and an approximation for a hard case of #SAT, 1997. No open-access version seems available online. :-(
cai2008holographic: J. Cai, P. Lu, M. Xia, Holographic reduction, interpolation and hardness, 2008
greenhill2000complexity: Catherine Greenhill, The complexity of counting colourings and independent sets in sparse graphs and hypergraphs, 2000
khanna2011queries: Sanjeev Khanna, Sudeepa Roy, Val Tannen, Queries with Difference on Probabilistic Databases, 2011.
vadhan1997complexity: Salil P. Vadhan, The Complexity of Counting in Sparse, Regular, and Planar Graphs, 1997. Some results probably originally appeared in a thesis, but I didn't check.
xia2006regular: Mingji Xia, Wenbo Zhao, #3-Regular Bipartite Planar Vertex Cover is #P-Complete, 2006. No open-access version seems available online. :-( Note that the first author is also an author of (1) in Tyson Williams' answer.

Diclaimer: I only had a superficial look at these papers and I am not an expert in this field, so there may be errors in my summary above.

Thanks to an anonymous PODS'17 referee for pointing me to khanna2011queries, which is what prompted me to write this answer.

— a3nm
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