Macchine di Turing la cui terminazione non è dimostrabile?

Ho una domanda ingenua: esiste una macchina di Turing la cui terminazione è vera ma non dimostrabile da una teoria naturale, coerente e finemente assiomatizzabile? Chiedo una semplice prova dell'esistenza piuttosto che un esempio specifico.

Questo potrebbe avere qualche connessione con l' analisi ordinale . In effetti, per una macchina di Turing , possiamo definire come il meno ordinale di una teoria coerente che provi la sua fine (o l'influenza di questi ordinali). Quindi suppongo che sarebbe equivalente a chiedere se esiste tale che ? $M$ $O(M)$ $M$ $O(M) \geq \omega_1^{CK}$

turing-machines proof-theory halting-problem

— Super8
fonte

La quantificazione non dovrebbe funzionare al contrario? La semplice aggiunta di TM X si interrompe come un assioma sarebbe coerente per qualsiasi X che si ferma effettivamente su tutti gli input (e finito se lo si fa solo per la TM in questione). Con i quantificatori invertiti, che ne dite di una TM che si ferma se l'ingresso non è una prova di coerenza per il sistema assiomatico ed entra in un ciclo infinito altrimenti.

— Yonatan N

Il tuo suggerimento è interessante, grazie. Ero consapevole della tua preoccupazione durante la formulazione della domanda, ecco perché ho aggiunto "naturale" ai requisiti. Naturalmente, il problema è se possiamo dare una definizione formale di "naturalezza" che escluderebbe questa costruzione artificiale.

— Super8

pensa che la risposta sia no perché se si ferma, allora si fa semplicemente funzionare la macchina e si fermerà in un numero finito di passaggi, e questa è una prova, e quel fatto può essere convertito in qualsiasi sistema di prova ragionevolmente potente. d'altro canto, è possibile codificare / convertire / tradurre il nonmodificabile thm di godel in una macchina senza sosta per la quale non è possibile provare la non-sosta. questa domanda è simile, c'è una TM che si ferma su tutti gli input ma la proprietà non è provabile cs.se

— vzn

Puoi costruire una macchina di Turing che calcola la sequenza di Goodstein dell'input e si ferma quando raggiunge L'arresto di non può essere provato nell'aritmetica di Peano; cioè il teorema di Goodstein non è dimostrabile usando gli assiomi di Peano dell'aritmetica. Vedi Laurie Kirby, Jeff Paris, Risultati di indipendenza accessibile per Peano arithmetic (1982)

M

$M$

G (n)

$G(n)$

n

$n$

0

$0$

M

$M$

— Marzio De Biasi

Grazie, non conoscevo quelle voci. Ciò che sto chiedendo è più forte, però, vorrei che l'improvvisazione venisse scritta a qualsiasi teoria ragionevole (piuttosto che a una teoria specifica come la PA). Non sono sicuro però che la domanda abbia una risposta definitiva.

— Super8

Risposte:

La terminazione di una macchina di Turing (su un input fisso) è una frase e tutte le solite teorie aritmetiche del primo ordine sono complete per le frasi , cioè tutte le affermazioni vere sono provabili in queste teorie. $\Sigma^0_1$ $\Sigma^0_1$ $\Sigma^0_1$

Se guardi alla totalità al posto dell'arresto , cioè una TM si ferma su tutti gli input, allora questa è una frase completa e per ogni teoria coerente computabilmente assiomatizzabile che è abbastanza forte (ad esempio si estende la teoria di Robinson ) c'è una MT la cui totalità non può essere dimostrata in tale teoria. $\Pi^0_2$ $Q$

— Kaveh
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Sì, stavo cercando la totalità, poiché ovviamente il problema è banale per un input fisso. Penserò al tuo reclamo e come dimostrarlo, ma a questo punto non vedo come considerare teorie "calcolabili assiomatizzabili" escluda il problema di cui sopra? Inoltre, nella tua affermazione la MT dipende dalla teoria considerata, possiamo ottenere la mia affermazione più forte da un qualche tipo di diagonalizzazione?

— Super8

Ecco un modo semplice: l'insieme delle funzioni calcolabili complessivamente dimostrabili di una tale teoria è ce, l'insieme delle funzioni calcolabili totali non è ce, o in alternativa è possibile diagonalizzare rispetto alle funzioni dimostrabili totali della teoria.

— Kaveh,

Ripensandoci, suggerisco di considerare una limitazione del problema come segue. Dato un sistema di notazione ordinale

rappresenta un ordinale

, possiamo definire una corrispondente "teoria elementare"

che consente l'induzione transfinita fino a

. Dato un TM

, definiremmo

come il più piccolo ordinale

tale che la fine di

possa essere dimostrata da una teoria

σ

$\sigma$

α

$\alpha$

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$

α

$\alpha$

M

$M$

O (M)

$O(M)$

α

$\alpha$

M

$M$

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ (cioè il sistema di notazione può essere scelto liberamente). Questa definizione ha senso?

— Super8

@ Super8, non ne sono sicuro. Generalmente l'associazione degli ordinali alle teorie non è canonica, ci sono vari modi di associarsi per farlo. Puoi iniziare con una teoria debole come la PRA e aggiungere l'induzione su ordinali calcolabili con belle sequenze fondamentali, ecc. Ma non sono sicuro del motivo per cui ti piacerebbe farlo.

— Kaveh,

Ok, non avevo capito il problema, allora proverò a trovare una definizione migliore da solo.

— Super8

Non sono un esperto di logica, ma credo che la risposta sia no . Se la macchina di Turing si arresta e il sistema è abbastanza potente, dovresti essere in grado di scrivere l'intera cronologia di calcolo della macchina di Turing sul suo input. Quando si verifica che il risultato del calcolo è una sequenza terminale di transizioni, si può vedere che la macchina si ferma. Indipendentemente da come formalizzi le macchine di Turing nella tua teoria, dovresti essere in grado di dimostrare in qualsiasi teoria ragionevole che una macchina che si ferma di fatto si ferma. Per analogia, pensa a provare a provare che una somma finita è uguale a ciò che è uguale a; ad esempio, prova che 5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42 o 5 + 5 + 5 = 15. Proprio come questo è sempre possibile fintanto che il numero di passaggi è finito, lo stesso sta dimostrando il risultato di un calcolo finito.

Proprio come un ulteriore punto ovvio - anche se la tua teoria è incoerente, puoi comunque mostrare che la macchina si ferma, in realtà anche se non lo fa, dal momento che puoi provare qualsiasi wff in una teoria incoerente, indipendentemente dal fatto che lo sia o meno in realtà vero.

— Philip White
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Sono d'accordo con il tuo primo punto, vedi la mia risposta di seguito. Per quanto riguarda il tuo secondo punto, una teoria incoerente dimostrerà anche la fine di una TM (in realtà non terminante), da cui la restrizione a teorie coerenti.

— Super8

Penso che stiamo dicendo la stessa cosa; Ho appena notato che hai detto "coerente" nella domanda, mi dispiace per averlo perso. Penso che la risposta di Kaveh copra tutte le stesse cose e sia comunque più elegantemente scritta.

— Philip White