Rappresenta in modo compatto il set di soluzioni di un'istanza SAT

Questa domanda è emersa nella mia mente dopo aver letto i contributi di András Salamon e Colin McQuillan alla mia domanda precedente Conteggio delle soluzioni delle formule Monotone-2CNF .

EDIT 30 ^° Mar 2011
Aggiunto domanda n ° 2.

EDIT 29 ^° ottobre 2010
Domanda riformulato dopo la proposta di formalizzare András attraverso il concetto di bella rappresentazione di un set di soluzioni (ho modificato la sua nozione un po ').

Sia una formula CNF generica con variabili. Sia suo set di soluzioni. Chiaramente, può essere esponenziale in . Permettere $F$ $n$ $S$ $|S|$ $n$ sia una rappresentazione di . Si dice che siacarinose e solo se i seguenti fatti sono tutti veri: $R$ $S$ $R$

ha dimensione polinomiale in . $R$ $n$
consente di enumerare le soluzioni in con ritardo polinomiale. $R$ $S$
consente di determinarein tempo polinomiale (cioè senza elencare tutte le soluzioni). $R$ $|S|$

Sarebbe bello se fosse possibile, in tempi polinomiali, costruire una tale per ogni formula. $R$

Domande:

Qualcuno ha mai dimostrato che esiste una famiglia di formule per le quali non può esistere una rappresentazione così bella ?

Qualcuno ha studiato la relazione tra la rappresentazione di e le simmetrie esposte da ? Intuitivamente, le simmetrie dovrebbero aiutare a rappresentare in modo compatto perché evitano la rappresentazione esplicita di un sottoinsieme di soluzione quando realtà si riduce a una sola soluzione (cioè da ogni puoi recuperare ogni altro applicando una simmetria corretta, così ogni è esso stesso rappresentativo dell'intero $S$ $F$ $S$ $S' \subset S$ $S'$ $s_i \in S'$ $s_j \in S'$ $s_i \in S'$ ) $S'$

— Giorgio Camerani
fonte

Penso che devi limitare un po 'la tua domanda. Come detto, la formula

in sé è una rappresentazione polinomiale dimensioni di

. Ma questo ovviamente non aiuta per la motivazione derivante dal problema precedente. Forse vuoi un po 'di legame (polinomiale?) Sulla complessità della riproduzione di

(o forse un singolo elemento di

, o calcolo

) dalla rappresentazione in dimensioni polinomiali ...

F

$F$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

| S |

$|S|$

— Joshua Grochow,

@Joshua: hai ragione, grazie. Ho arricchito la domanda per chiarire. Per favore fatemi sapere se è OK ora.

— Giorgio Camerani,

A proposito, un modo per rappresentare il set di soluzioni è un "albero di ricerca AND / OR". Ogni istanza è una foglia dell'albero e il conteggio può essere eseguito senza enumerare tutte le soluzioni.

— Yaroslav Bulatov,

@Yaroslav: Interessante ... potresti per favore approfondire ulteriormente?

— Giorgio Camerani,

Risposte:

Come affermato (revisione 3), la domanda ha una risposta semplice: no.

$F$ $S$

Per rappresentazioni ancora più ristrette, come circuiti monotoni o a profondità costante, sono noti limiti inferiori esponenziali. Esistono anche limiti inferiori esponenziali per la rappresentazione di formule in forma CNF o DNF, sebbene questi possano essere visti come casi speciali di circuiti a profondità costante. Infine, le rappresentazioni BDD possono essere viste come forme compatte di DNF, ma esistono formule per le quali il BDD richiede dimensioni esponenziali per qualsiasi ordinamento variabile.

Per rendere la tua domanda più precisa, considera la risposta di @ Joshua in dettaglio e chiarisci cosa intendi con "banale enumerare ogni singola soluzione".

$B$ $B$

esiste una famiglia di formule e una bella rappresentazione che ha una dimensione polinomiale mentre i suoi BDD hanno una dimensione superpolinomiale?

Questo cattura l'essenza di ciò che stai chiedendo?

— András Salamon
fonte

@ András: ho aggiunto una sezione di chiarimento.

— Giorgio Camerani,

@ András: mi scuso se la mia domanda non ha precisione. La tua frase "esiste una rappresentazione più compatta delle formule DNF rispetto ai BDD?" cattura l'essenza di ciò che sto chiedendo. Tale rappresentazione più compatta dovrebbe essere possibile per ogni formula (anche per quelle con un numero superpolinomiale di soluzioni).

— Giorgio Camerani,

@ András: Ciao, ci ho pensato un po 'di più. Una migliore acquisizione dell'essenza di ciò che sto ponendo è la domanda "Esiste una bella rappresentazione che ha una dimensione polinomiale per ogni formula?" . Tale rappresentazione deve essere la "migliore in assoluto", indipendentemente da come si comportano i BDD rispetto ad essa. Il tuo suggerimento di ritardo polinomiale si adatta perfettamente all'idea che ho in mente.

— Giorgio Camerani,

@Walter: potrebbe valere la pena modificare la domanda in linea con tale riformulazione o pubblicare una nuova domanda.

— András Salamon,

@ András: ho riformulato la domanda. La definizione di bella rappresentazione è stata un po 'cambiata (ho pensato che fosse un termine della tua invenzione piuttosto che un termine ben definito in letteratura, non è vero?).

— Giorgio Camerani,

[Questa risposta era in risposta alla versione precedente alla revisione 6 del 29 ottobre 2010.]

$R(\varphi)$ $S(\varphi)$ $\varphi$ $R$ $|R(\varphi)| \leq poly(n)$ $\varphi$ $n$ $A$ $A(R(\varphi)) = S(\varphi)$ $A$ $R(\varphi))$ $poly(n, |S|)$

$S$ $R$ $A$ $|S| \leq poly(n)$ $R(\varphi) = (0, S)$ $|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ $R(\varphi) = (1, \varphi)$ $A(0, S)$ $S$ $A(1, \varphi)$ $S$ $\varphi$ $|S| = 2^{\Omega(n)}$ $O(|S|)$

$R$ $A$ $p$ $S$ $poly(n)$ $S$ $p$ $|S|$ $p$ $A$ $|S|$

$R$ $poly(n, |\varphi|)$ $P \neq PromiseUP$ $\varphi$ $A(R(\varphi))$ $\varphi$ $poly(n)$

— Joshua Grochow
fonte

R

$R$

A

$A$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1,\varphi)$

R

$R$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

S

$S$

n

$n$

O (| S |)

$O(|S|)$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

φ

$\varphi$